Линейные операторы и бесконечные матрицы

[AGu]

Естественное соответствие между множествами линейных операторов $L(\mathbb R^m,\mathbb R^n)$ и матриц $\mathbb R^{m\times n}$ прекрасно объясняет изоморфность этих двух векторных пространств. Насколько далеко эта аналогия распространяется в мир бесконечномерных пространств? Например, справедлива ли следующая гипотеза (а если нет, то при каких условиях справедливо ее заключение)?

Пусть $X$ и $Y$ — векторные пространства над $\mathbb R$ и пусть $A$ и $B$ — их базисы. Изоморфны ли векторные пространства $L(X,Y)$ и $\mathbb R^{A\times B}$ ?

[g______d]

А изоморфизм должен быть каким-то естественным? Иначе можно просто мощности сравнить.

С другой стороны, если есть базис Гамеля и там и там, то естественно соответствие между $L(X,Y)$ и матрицами, у которых в каждом столбце только конечное число элементов отлично от нуля.

[AGu]

Скучно с вами. Я эту задачу набирал дольше, чем вы над ней размышляли перед тем как выдать убийственно верный ответ. Безобразие.

[g______d]

Вопрос перестаёт быть тривиальным, если мы чего-нибудь потребуем от пространств и операторов. Например, пусть у нас ограниченные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве. У каждого оператора есть матрица (теперь уже честно бесконечная, поскольку это теперь базис в смысле полной ортонормированной системы). Ну так вот, насколько я понимаю, не известно никакого способа взглянуть на матрицу и понять, является ли она матрицей какого-то ограниченного оператора или не является.

За исключением специальных случаев типа критерия Шура или конечности нормы Гильберта-Шмидта.

[grizzly]

g______d
Проясните мне, пожалуйста, один момент. Ведь если мы говорим о матрице ограниченного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве, то ведь это означает, что мы уже обсуждаем не базис Гамеля, как чуть выше, а базис Шаудера? Мне-то в любом случае представлять себе матрицы операторов в сепарабельных пространствах, основанных на базисе Гамеля, как-то совсем непривычно, но если как-то напрячься и представить, то охарактеризовать ограниченный оператор можно, наверное. Или это я всё сильно путаю?

[g______d]

Да, когда говорят о базисе гильбертова пространства, обычно имеют в виду полную ортонормированную систему (она также будет базисом Шаудера, но обратное неверно). А матрица оператора -- это просто таблица $(A e_i, e_j)$. Ну и в терминах этой матрицы сложно выписать условие ограниченности (хотя есть несколько достаточных условий).

Про аналогичный вопрос с базисом Гамеля я точно не знаю, но он не так интересен, т. к. он начинается со слов "можно ли взглянуть на матрицу и ...", а на матрицу в базисе Гамеля взглянуть проблематично.

[grizzly]

g______d
Спасибо, ну значит я примерно правильно всё понял.

(Оффтоп)

Я когда-то давно немного разбирался в этом, даже публиковаться начинал, а сейчас и на уровне интуиции в простых вопросах затуманилось