Вопросы по ловушечным поверхностямк

[Kirill_Sal]

Как вывести уравнение границы ловушечной области для заданной метрики $g_{ik}$?
(Ловушечная область - это область, через каждую точку которой проходит ловушечная поверхность). Всегда ли граница этой области совпадает с горизонтом событий?
По книге Хокинга-Эллиса я еще далек от ловушечных поверхностей и перескочить 150 страниц не смогу, чтобы разобраться в том, что они на эту тему пишут, а конкретного примера они не привели даже для метрики Шварцшильда. Про ловушечные поверхности я прочитал в "популярных" лекциях Хокинга-Пенроуза.
У меня есть смутная идея написать объемное расхождение для изотропных геодезических, входящих ($\theta_{1}$) и выходящих ($\theta_{2}$) ортогонально к пока неизвестной ориентируемой изотропной поверхности $S$, затем положить $\theta_{1,2}>0$ и отсюда как-то вывести явный вид уравнения для $S$. Граница максимальной поверхности $S$ в пространстве-времени $M$ даст нам границу ловушечной области. У меня есть подозрение, что здесь чего-то не хватает либо что-то не совсем правда

[SergeyGubanov]

Не совсем понятно. Вы хотите найти границу трёхмерной области, то есть двумерную поверхность? Или же речь идёт о границе четырёхмерной области, то есть о трёхмерной поверхности?

Если о двумерной, то будет две линейно независимые нормали $N^{\mu}_{(1)}$ и $N^{\mu}_{(2)}$.

Кстати, изотропность ($g_{\mu \nu} N^{\mu} N^{\nu} = 0$) и геодезичность ($N^{\mu} \nabla_{\mu} N^{\nu} = 0$) независимые друг от друга вещи. То есть нормаль может быть изотропной/неизотропной и геодезичной/негеодезичной в любой комбинации.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009420 писал(а):

Как вывести уравнение границы ловушечной области для заданной метрики $g_{ik}$?

А никак. Можно только для заданной поверхности вычислить, является ли она границей ловушечной области.

В метрике Шварцшильда ловушечными поверхностями будут все сферы вокруг сингулярности, находящиеся под горизонтом.

-- 30.04.2015 14:42:43 --

SergeyGubanov в сообщении #1009525 писал(а):

Не совсем понятно. Вы хотите найти границу трёхмерной области, то есть двумерную поверхность? Или же речь идёт о границе четырёхмерной области, то есть о трёхмерной поверхности?

Да уж, не знаете определений - не лезьте.

[Kirill_Sal]

Munin
То есть граница ловушечной области в Шварцшильде - это $r=2M$ и совпадает с горизонтом. Это следовало ожидать.
Я почему спрашиваю. Когда начал копаться в литературе, где освещены ловушечные поверхности, я все-таки нашел один конкретный пример. В книге Новикова Фролова "Физика черных дыр" в &5.5 пишется уравнение границы ловушечной области для метрики пылевидной сферы. Но не пишется, как оно выводится. У меня пока идей нет, потому и пишу на форум. Физически понимаю в общих чертах, а аналитически и строго по определению - нет.
Т.к. в первом ответе я увидел не понятную игру словами, уточню, о чем идет речь. Внешняя ловушечная поверхность - это компактная пространственноподобная ориентируемая поверхность, для которой выполнено условие: расходимость выходящих ортогонально к ней изотропных геодезических неотрицательна. (т.е. по теореме фокусирования, площадь поверхности выходящего светового фронта - убывающая функция от $r$). Ловушечная область - это совокупность точек, через каждую из которых проходит внешняя ловушечная поверхность. (Все это есть в книгах Хокинга-Эллиса и Новикова-Фролова).

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009570 писал(а):

Я почему спрашиваю. Когда начал копаться в литературе, где освещены ловушечные поверхности, я все-таки нашел один конкретный пример. В книге Новикова Фролова "Физика черных дыр" в &5.5 пишется уравнение границы ловушечной области для метрики пылевидной сферы. Но не пишется, как оно выводится. У меня пока идей нет, потому и пишу на форум.

1. Из пальца высосано что-то типа "возьмём сферу, центрированную в начале координат".
2. Единственное, что там осталось найти - это радиус сферы. А вот это уже можно посчитать из критерия ловушечной поверхности.

Kirill_Sal в сообщении #1009570 писал(а):

Т.к. в первом ответе я увидел не понятную игру словами, уточню, о чем идет речь.

Да ладно, учить SergeyGubanov-а ОТО бесполезно. Он впал в состояние необучаемости, воображая, что сам лучше всех всё знает (а по факту, нахватавшись дикой смеси реальных знаний, зияющих пробелов и лженауки от своего научрука). Желчи потратите много, а полезный результат и в микроскоп не заметите.

[Kirill_Sal]

Munin
Я посмотрел за сегодня эту книгу. Не блестящая, но полезно читать параллельно с Хокингом - Эллисом. Очень много "на пальцах", но это иногда полезно.
Секунду, вы говорите, что в метрике пылевидной сферы $r_{g}$ в сопутствующей системе координат не зависит от $\tau$? Она ведь коллапсирует и процесс является нестационарным, так? Или Вы что-то другое понимаете под "радиусом сферы"? Они видимо и написали закон $r_{g}(R,\tau)$. Кстати, в строгом смысле слова $r_{g}$ горизонтом событий это назвать нельзя, - он определяется конечными условиями и от $\tau$ не зависит. Я видимо запутался в обозначениях.
Пускай формулы высосаны из пальца, хотелось бы разобраться, что здесь откуда и куда.

(Оффтоп)

Про этого товарища я ничего не знаю и осуждать его не планировал. Я заметил только безобидную, но бессмысленную игру слов

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Я посмотрел за сегодня эту книгу. Не блестящая

Зря вы так. Я считаю И. Д. Новикова одним из лучших авторов по релятивистской астрофизике. Соавтор Зельдовича, кстати. И хороший популяризатор.

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Секунду, в метрике пылевидной сферы $r_{g}$ не зависит от $\tau$?. Она ведь коллапсирует и процесс является нестационарным, так? Или Вы что-то другое понимаете под "радиусом сферы"?

Я про $r_g$ вообще ничего не писал. Вы спросили про ловушечную поверхность - про неё я и ответил.

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Пускай формулы высосаны из пальца, хотелось бы разобраться в них.

Я не говорил "формулы высосаны из пальца". Из пальца высосано только одно:
1. Возьмём ловушечную поверхность в виде сферы. Вообще говоря, можно брать и другие формы. Но сферу в данном случае естественно рассмотреть. И - никто не говорит, что полученная лов. поверхность - единственная, наоборот, поверхностей других форм должно быть полно.
2. Выберем сферу, центрированную на начале координат. Ну, тут вообще можно добавить, что "это не ограничивает общности рассуждений", как говорят в математике. Поскольку внутри коллапсирующей пыли всё пространство однородно.

И это - не формулы.

(Оффтоп)

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Про этого товарища я ничего не знаю и осуждать его не планировал.

Я и не предлагал его осуждать. Я предупредил от вступания с ним в разговоры. Долгие, бессмысленные и неприятные.

[Kirill_Sal]

Munin в сообщении #1009616 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Я посмотрел за сегодня эту книгу. Не блестящая

Зря вы так. Я считаю И. Д. Новикова одним из лучших авторов по релятивистской астрофизике. Соавтор Зельдовича, кстати. И хороший популяризатор.

Я не спорю, что он великий человек! Но именно в этой книге многие вещи пишутся не очень строго. Это на любителя, конечно, но в ОТО с нестрогостью надо аккуратно.

Munin в сообщении #1009616 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1009601 писал(а):

Я не говорил "формулы высосаны из пальца". Из пальца высосано только одно:
1. Возьмём ловушечную поверхность в виде сферы. Вообще говоря, можно брать и другие формы. Но сферу в данном случае естественно рассмотреть. И - никто не говорит, что полученная лов. поверхность - единственная, наоборот, поверхностей других форм должно быть полно.
2. Выберем сферу, центрированную на начале координат. Ну, тут вообще можно добавить, что "это не ограничивает общности рассуждений", как говорят в математике. Поскольку внутри коллапсирующей пыли всё пространство однородно.

Снова секундочку. Они пишут уравнение границы ловушечной области, а не поверхности. Поверхностей, понятное дело, сколько угодно можно нарисовать. Я ведь изначально и сформулировал вопрос для границы ловушечной области. Эта штука определена однозначно, поэтому конкретные формулы искать надо для нее. Может быть, они написали по Вашей схеме семейство ловушечных поверхностей в виде концентрических сфер, а затем нашли границу их объединения? Вот еще вопрос: как понимать ловушечную область "вне вещества"? Это область, ограниченная горизонтом событий и положением в момент времени $\tau$ коллапсирующей сферы, уже упавшей под него, или что-то более общее?
P.S. Вообще, в их формулах сильнее всего сбивает с толку запись вида $r_{g}=f(T,R)$. Согласно принятой в книгах Х-Э, Н-Ф терминологии, горизонт событий определяется конечными условиями задачи и от времени не зависит.

[SergeyGubanov]

Kirill_Sal в сообщении #1009570 писал(а):

Внешняя ловушечная поверхность - это компактная пространственноподобная ориентируемая поверхность, для которой выполнено условие: расходимость выходящих ортогонально к ней изотропных геодезических неотрицательна. (т.е. по теореме фокусирования, площадь поверхности выходящего светового фронта - убывающая функция от $r$). Ловушечная область - это совокупность точек, через каждую из которых проходит внешняя ловушечная поверхность. (Все это есть в книгах Хокинга-Эллиса и Новикова-Фролова).

Это частный случай. Смысл в том, что в ловушечную область можно попасть, но нельзя выйти.

Берём ориентируемое (прошлое $\to$ будущее) пространство событий $X^4$. Ловушечная область $\Omega$ является подмножеством $X^4$.

Точка $p$ принадлежит $\Omega$ если все мировые линии выходящие из этой точки целиком принадлежат $\Omega$.

Здесь выходящие мировые линии - значит идущие в будущее. Мировая линия - любая изотропная или времени-подобная линия. Мировая линия не обязана быть геодезической.

Вот и всё. Про какие-то там поверхности - ни слова. Про размерность $\Omega$ тоже нет ни слова, то есть $\Omega$ не обязано быть четырёхмерным. Поэтому граница $\Omega$ не обязана быть трёхмерной.

Кстати, а обязана ли она (граница $\Omega$) вообще быть дифференцируемым вложением в $X^4$...

[Kirill_Sal]

SergeyGubanov
Не путайте меня игрой красивых слов. Вы говорите очень нетрадиционными словами про область под горизонтом событий.
По поводу свойств горизонта событий смотрите Хокинга - Эллиса and may the Force be with you.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009625 писал(а):

Но именно в этой книге многие вещи пишутся не очень строго. Это на любителя, конечно, но в ОТО с нестрогостью надо аккуратно.

Скажем так. Книга рассчитана на людей, достаточно уже знающих ОТО, и могущих добавить строгости к сказанному самостоятельно.

Kirill_Sal в сообщении #1009625 писал(а):

Снова секундочку. Они пишут уравнение границы ловушечной области, а не поверхности.

Граница ловушечной области есть ловушечная поверхность (ну, если пренебречь всякими $\sup\ne\max$).

Kirill_Sal в сообщении #1009625 писал(а):

Эта штука определена однозначно

А мне кажется, нет.

Kirill_Sal в сообщении #1009625 писал(а):

P.S. Вообще, в их формулах сильнее всего сбивает с толку запись вида $r_{g}=f(T,R)$. Согласно принятой в книгах Х-Э, Н-Ф терминологии, горизонт событий определяется конечными условиями задачи и от времени не зависит.

В разных книгах горизонт дефинируют немного по-разному. В Пенроузе "Структура пространства-времени", например, он вполне от времени зависит.

[Kirill_Sal]

Цитата:

В разных книгах горизонт дефинируют немного по-разному. В Пенроузе "Структура пространства-времени", например, он вполне от времени зависит.

Так горизонт и не может зависеть от времени. Коллапсирующая поверхность в момент времени $\tau$ ($t$) не есть горизонт событий в многообразии $(M,g)$. Даже ЛЛ определяют коллапсирующую поверхность как "горизонт" в кавычках. Определения могут быть разные, но физика инвариантна относительно определений.

Цитата:

Граница ловушечной области есть ловушечная поверхность (ну, если пренебречь всякими $\sup\ne\max$).

Ловушечная-то она ловушечная, но вот с однозначностью границы что? Если граница определена неоднозначно, то получается, что мы, вообще говоря, не можем отличить в $M$ ловушечную область от неловушечной. Тем более, в том же Новикове говорится о том, что внешняя часть этой границы есть горизонт событий при выполнении слабого энергетического условия, что вполне естественно. Что неоднозначного, например, в сфере Шварцшильда? Разве что произвол в выборе момента времани $t$, но тут мы возвращаемся к правильному определению горизонта.
Вообщем, немного не согласен с Вами, либо поясните свои мысли, пожалуйста.

-- 30.04.2015, 19:39 --

Извиняюсь за неправильное оформление цитат. К сожалению, уже не успеваю исправить в ближайшие минут сорок.

Pphantom:

Немного поправил цитаты, чтобы, по крайней мере, было понятно, какая часть текста - Ваша.

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009681 писал(а):

Так горизонт и не может зависеть от времени.

Таки может. Повтыкайте в Хокинге-Эллисе на рис. 55 и 57. А перед этим на определение горизонта хорошо бы.

И речь не о коллапсирующей поверхности. Совсем нет. Горизонт зарождается внутри пылевого шара, сначала просто как световой конус, один из многих, а потом, оказываясь снаружи шара, становится "неподвижным" (его радиус больше не меняется).

Kirill_Sal в сообщении #1009681 писал(а):

Даже ЛЛ определяют коллапсирующую поверхность как "горизонт" в кавычках.

Ну это просто глупость какая-то.

Kirill_Sal в сообщении #1009681 писал(а):

Определения могут быть разные, но физика инвариантна относительно определений.

Вы чего-то путаете, физика инвариантна относительно замен координат :-) А меняя определение, вы меняете, о чём говорите.

В общем, я думаю, вам перед Новиковым-Фроловым стоит всё-таки потщательнее Хокинга-Эллиса проштудировать. (Пенроуза всё ещё рекомендую - там очень прозрачное изложение.)

...да потщательней колдуй...

[Kirill_Sal]

Munin
Вообще-то Вы правы, что горизонт по-разному можно опрелелять. Говоря простыми слова в нестационарном процессе горизонт событий действительно эволюционирует во времени. Это одно понятие. Обычно принято считать, что процесс образования черных дыр становится стационарным за конечный промежуток времени. При таком подходе горизонт событий логично определять как решение задачи с конечными условиями. Это другое понятие.
По Хокингу-Эллису я еще не дошел до рис.55-57. Вообще, это великая книга. Она требует предельного внимания и точности, но и имея в запаса эти качества для осмысленного ее чтения нужно понимать: а) проблематику темы, возникающую из общих соображений "на пальцах"; б) мотивировку развиваемых в ней абстракций. И абстракции надо на тех или иных примерах доводить до конкретных формул и уравнений. Иначе не получается увидеть, "как это работает".
Поэтому я и пытаюсь сейчас понять, что же за чудо написали Новиков с Фроловым

[Munin]

Kirill_Sal в сообщении #1009713 писал(а):

Обычно принято считать, что процесс образования черных дыр становится стационарным за конечный промежуток времени.

Похоже, вы ещё не научились отделять мух от котлет в ОТО, координаты от физики.