Подкольцо / Подкольцо кольца

[NoMercy]

Добрый вечер.
Нужно доказательство следующих двух утверждений

$\left\lbrace x+y\sqrt{5}|x,y \in\mathbb{Q}\right\rbrace$ есть подкольцо $\mathbb{R}$

$\left\lbrace a+b\sqrt{5}|a,b \in\mathbb{Z}\right\rbrace$ есть подкольцо кольца $\mathbb{R}$

Надеюсь на вашу помощь, заранее благодарен за ваше внимание к данной задаче.

Что сделал я:

Я предполагаю что можно сказать что выражение $(p+q\sqrt{5})$ так же $\in\mathbb{Q}$
Проверка замкнутости по умножению:
$(x+y\sqrt{5})(p+q\sqrt{5})=xp+xq\sqrt{5}+y\sqrt{5}p+5yq$
Замкнутость по сложению
$(x+y\sqrt{5})(p+q\sqrt{5})=x+p+y\sqrt{5}+q\sqrt{5}$
Существование нуля
$(x+y\sqrt{5}) + 0 = 0 +(x+y\sqrt{5})= x+y\sqrt{5}$
Остальные свойства для первого случая проверяются я полагаю аналогично. Просьба указать ошибку если есть.

[AV_77]

Пользуясь определением подколка проверьте, что все необходимые условия выполняются - замкнутость по сложению и умножения, коммутативность и ассоциативность сложения и т.д.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

NoMercy в сообщении #1009001 писал(а):

Просьба указать ошибку если есть.

Вот она, ОШИБИЩА!

NoMercy в сообщении #1009001 писал(а):

Я предполагаю что можно сказать что выражение $(p+q\sqrt{5})$ так же $\in\mathbb{Q}$

[NoMercy]

Brukvalub в сообщении #1009246 писал(а):

Вот она, ОШИБИЩА!

NoMercy в сообщении #1009001 писал(а):

Я предполагаю что можно сказать что выражение $(p+q\sqrt{5})$ так же $\in\mathbb{Q}$

Да, точно. Мне стоит быть внимательней.
$\left\lbrace p+q\sqrt{5}|p,q \in\mathbb{Q}\right\rbrace$
Спасибо.

[VAL]

AV_77 в сообщении #1009003 писал(а):

Пользуясь определением подколка проверьте, что все необходимые условия выполняются - замкнутость по сложению и умножения, коммутативность и ассоциативность сложения и т.д.

Я не знаю определения подколки
Но независимо от от этого ни за что на свете не стал бы проверять всякие ассоциативности, коммутативности и прочие дистрибутивности, т.е. те свойства, которые определяются исключительно через кванторы всеобщности.
Достаточно того, что в $\matbb R$ они выполняются.