Уравнение в частных производных

[fronnya]

$x^2 z \frac{\partial z}{\partial x} + y^2 z \frac{\partial z}{\partial y}=x+y$
Не могу придумать интегрируемую комбинацию.
Придумал лишь одну.

$$\frac{dx}{x^2z}=\frac{dy}{y^2z}=\frac{dz}{x+y}$$

рассмотрим $\frac{dx}{x^2z}=\frac{dy}{y^2z}$, домножим числитель и знаменатель обеих сторон на $y$ и $x$ соответственно, а потом сложим числители и знаменатели этих частей, получим

$$\frac{d(xy)}{xyz(x+y)}$$

, рассмотрим это совместно с $\frac{dz}{x+y}$:

$$\frac{d(xy)}{xyz(x+y)}=\frac{dz}{x+y}$$

Откуда первый интеграл

$$\Psi_1=\ln{(xy)}-\frac{z^2}{2}$$

Какую ещё тут можно придумать комбинацию, чтобы получить второй интеграл?

[ИСН]

Относительно $z^2$ уравнение линейно.

[fronnya]

ИСН в сообщении #1009280 писал(а):

Относительно $z^2$ уравнение линейно.

Исходное уравнение? И что мне это дает?

[ИСН]

Ничего; так просто, наблюдение.

-- менее минуты назад --

Минуточку, а чего же Вы хотите? Вот это и есть ответ; любая функция, которая подходит под него, подходит и под изначальный диффур. Какой ещё второй интеграл?

[Red_Herring]

fronnya в сообщении #1009260 писал(а):

рассмотрим $\frac{dx}{x^2z}=\frac{dy}{y^2z}$,

Ну и решайте это уравнение

[Munin]

Что такое интегрируемая комбинация?

И откуда у вас вообще это уравнение, вы же ещё на первом курсе?

[fronnya]

Munin в сообщении #1009303 писал(а):

Что такое интегрируемая комбинация?

И откуда у вас вообще это уравнение, вы же ещё на первом курсе?

Интегрируемые комбинации? Точного определения не знаю, но эт когда два каких-нибудь уравнения системы таким образом преобразуем, используя вдогонку ко всему правило равных дробей, что получается одно уравнение и его мы решаем совместно с каким-нибудь другим уравнением этой системы и в итоге получается уравнение с разделяющимися переменными, я выше показал, как это делается. Ну я сам не ожидал, что у нас будут уравнения в частных производных.. Но вроде ничего сложного в них нет, в тех, которые решаемы и которые есть в нашем сборнике задач, да и к тому же они все первого порядка. Любой первокурсник, которые умеет решать уравнения первого порядка ну, обычных, самых стандартных видов, сможет решать и такие уравнения просто в лоб. Ну а нас заставляют придумывать, как не решать в лоб, а упрощать решение, хотя бы в некоторых случаях.

[пианист]

fronnya в сообщении #1009260 писал(а):

Не могу придумать интегрируемую комбинацию.
Придумал лишь одну.

Не знаю, что есть интегрируемая комбинация, но если Вам надо проинтегрировать учп, то другой и не надо.
Как правильно указал Red_Herring, решаете это оду: находите пару интегралов (один очевиден) $I_1$ и $I_2$, решение учп
$I_1=\varphi(I_2)$,
$\varphi$ произвольная функция.

upd: один интеграл
$\frac{dx}{x^2}-\frac{dy}{y^2}=0$,
$I_1=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$,
второй - выражаем, например, $x$ из последнего выражения:
$x=\frac{1}{I_1+\frac{1}{y}}$
и подставляем в
$\frac{d\frac{z^2}{2}}{x+y}=\frac{dy}{y^2}$.

[svv]

А что такое первый интеграл применительно к уравнению в частных производных?

[Red_Herring]

На самом деле это очень простая задача. Вот fronnya, Вы нашли одно решение $z^2=2\ln (xy)$.

Вам намекнули

ИСН в сообщении #1009280 писал(а):

Относительно $z^2$ уравнение линейно

и потому $z^2 = 2\ln (xy) + u$, где $u$ общее решение линейного однородного уравнения $x^2 \frac{\partial u}{\partial x} + y^2 \frac{\partial u}{\partial y}=0$, а оно есть функция $I_1=\frac{1}{x}-\frac{1}{y}$ (см. пианист) будет $f(1/x -1/y)$. Итак

$$ z^2=2\ln (xy) + f\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right) $$

с произвольной ф-ей $f$.

[fronnya]

svv в сообщении #1009381 писал(а):

А что такое первый интеграл применительно к уравнению в частных производных?

Я не знаю, как это назвать.

-- 29.04.2015, 23:11 --

Я уже решил это уравнение, всем спасибо

[olenellus]

svv в сообщении #1009381 писал(а):

А что такое первый интеграл применительно к уравнению в частных производных?

Для квазилинейных УрЧП первого порядка это первый интеграл характеристического поля этого уравнения.

[svv]

Спасибо.