Решить в целых числах

[arqady]

Решите в целых числах следующее уравнение.

$$x^2+y^2=(x+1)^3$$

[scwec]

С помощью Magma: только $(0,\pm{1})$ и $(88,\pm{835})$.

[Sonic86]

$x^2+y^2=(x+1)^3$
От противного получаем, что $2|x$. Тогда $y\equiv 1\pmod 2$. Значит $1+i \nmid x+iy$
Ясно, что $\gcd(x,y)=1$.
$\mathbb{Z}[i]$ факториально.
$(x+iy)(x-iy)=(x+1)^3$
$\gcd(x+iy,x-iy)=\gcd(x+iy,2x)=\gcd(x+iy,2)=1$.
Значит $x+iy=(c+di)^3, x+1=(c+di)(c-di)$
$x=c^3-3cd^2$ и $x=c^2+d^2-1$, $\Rightarrow$
$c^3-3cd^2=c^2+d^2-1$
$d^2=\frac{c^3-c^2+1}{1+3c}$
$c^3-c^2+1\equiv -23c^3 \pmod {1+3c}$
$\gcd(1+3c,c^3)=1$
$1+3c\mid -23 \Leftrightarrow c=0;8 \Rightarrow d=1;\pm 5 \Rightarrow x=0;8^2+5^2=88$.

[scwec]

Если рассмотреть уравнение $x^2+y^2=(x+k)^3$, где $k$ натуральное число, то оказывается, что при $k=1,2,3,4,7,9,10,12,14,15,16,20,22,24,25,28,34,36...\qquad(1)$ целые решения имеются и легко выписываются. Эта последовательность, кстати, отсутствует в OEIS. Самое большое число целых решений для перечисленных $k$ в случае $k=36$. Это $(-27,\pm{0}),(-26,\pm{18}),(-16,\pm{88}),(0,\pm{216}),(270,\pm{5346})$. На втором месте $k=4$ с решениями $(-2,\pm{2}),(0,\pm{8}),(9,\pm{46}),(16,\pm{88})$.
Интересны те значения $k$ при которых уравнение имеет рациональные решения, но не имеет целых. В указанных пределах это $k=18,29,33,35\qquad(2)$.
Неясно пока, бесконечно ли продолжаемы последовательности $(1),(2)$.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1009209 писал(а):

Неясно пока, бесконечно ли продолжаемы последовательности $(1),(2)$.

С $(1)$ ясно: если $k$ --- точный квадрат, то уравнение $x^2+y^2=(x+k)^3$ имеет по крайней мере тривиальное решение (с $x=0$).

[scwec]

nnosipov в сообщении #1009235 писал(а):

С $(1)$ ясно: если $k$ --- точный квадрат, то уравнение $x^2+y^2=(x+k)^3$ имеет по крайней мере тривиальное решение (с $x=0$).

Конечно, а со второй, видимо, не так просто.
Лирическое отступление. Замечу, что порой проще придумать решение, чем доказать его отсутствие.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1009166 писал(а):

С помощью Magma:

А что, она умеет решать диофантовы уравнения какого-то специального вида (кроме линейных, естественно)? Maple с трудом переваривает уравнения Пелля.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1009268 писал(а):

А что, она умеет решать диофантовы уравнения какого-то специального вида (кроме линейных, естественно)? Maple с трудом переваривает уравнения Пелля.

Она умеет находить целые точки на эллиптических кривых с целыми коэффициентами.

[nnosipov]

Да, действительно.

[Sonic86]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1009209 писал(а):

рассмотреть уравнение $x^2+y^2=(x+k)^3$, где $k$ натуральное число, то оказывается, что при $k=1,2,3,4,7,9,10,12,14,15,16,20,22,24,25,28,34,36...\qquad(1)$ целые решения имеются и легко выписываются. ...
Интересны те значения $k$ при которых уравнение имеет рациональные решения, но не имеет целых. В указанных пределах это $k=18,29,33,35\qquad(2)$.
Неясно пока, бесконечно ли продолжаемы последовательности $(1),(2)$.

Как известно, общее решение имеет вид:

Sonic86 в сообщении #839945 писал(а):

Так же решается и уравнение $x^2+y^2=z^3$:
$x+iy=(c+di)(a+bi)^3$

$$\begin{cases} x=(c^2+d^2)(ca(a^2-3b^2)-bd(3a^2-b^2))\\ y=(c^2+d^2)(cb(3a^2-b^2)+ad(a^2-3b^2))\\ z=(c^2+d^2)(a^2+b^2) \end{cases}$$

Для $z=x+k$ получаем уравнение $k=(c^2+d^2)(a^2+b^2-ca(a^2-3b^2)+bd(3a^2-b^2))$. Перебором раскладываем на множители, из первого определяем $c,d$, из второго множителя получаем уравнение типа $\text{однородный многочлен 3-й степени}=\operatorname{const}$. Умеем ли мы решать такие уравнения? Я только теорему Туэ-Зигеля-Рота знаю

[Naf2000]

А без комплексных чисел, но доступно для школьников можно?

[Sonic86]

Naf2000 в сообщении #1009448 писал(а):

А без комплексных чисел, но доступно для школьников можно?

Можно, но не имеет смысла: получится то же самое, только более громоздкое. Стандартный способ: заменить рассмотрение чисел $x+iy$ на $x^2+y^2$, $\mathbb{Z}[i]$ заменяется на полугруппу сумм двух квадратов и т.п.. Кроме того, я использую неявно стандартную теорию, а школьникам придется все заново доказывать: что простое число вида $4k+1$ или $2$ единственным образом раскладывается в сумму двух квадратов, что разложение числа $x^2+y^2$ в произведение простых чисел вида $a^2+b^2$ единственно. А потом все это применять.

[scwec]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #1009354 писал(а):

Умеем ли мы решать такие уравнения?

Предпочитаю в данном случае иметь дело с исходным уравнением, поскольку это уравнение эллиптической кривой с целыми коэффициентами, причем уже в форме Вейерштрасса (после раскрытия скобок).
Для меня это более привычный вариант.
Но мы (nnosipov и я) года 3 назад рассматривали именно это уравнение с точки зрения общего решения уравнения $x^2+y^2=z^3$. Там, по-моему, все получилось, но деталей не помню.

[Sonic86]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #1009712 писал(а):

Но мы (nnosipov и я) года 3 назад рассматривали именно это уравнение с точки зрения общего решения уравнения $x^2+y^2=z^3$. Там, по-моему, все получилось, но деталей не помню.

Мне nnosipov подсказал ссылку: topic66827.html
Так у Вас там ограничение

scwec в сообщении #664826 писал(а):

Для уравнения $x^2+y^2=z^3$ известно общее решение в натуральных числах $x,y,z$, где $x,y$ взаимно простые.

У меня оно решений без ограничений.

Кстати, и решение там уже есть:

scwec в сообщении #664826 писал(а):

откуда $s^2=\frac{r^3-r^2+1}{3r+1}$.

Можно было тут ничего не решать

[scwec]

Если позволит arqady, предложу решить в целых числах
уравнение $x^2+y^2=(x+1)^3+x^3$