Спиральная система координат и не только.

[ShyGuest]

Добрый день.

Надеюсь Вы сможете потратить немного своего времени на человека, который рвется к прекрасному (математике), но в его окружении (менеджеров) это крайне непопулярно. Я пишу здесь, потому что мне не с кем обсудить математические проблемы - среди моих знакомых просто нет специалистов в этой области.

Предисловие. В бытность студентом, да и в школьные годы, я старался всегда задавать вопрос "а что если?". Определитель? А что если вычислить его для "кубической матрицы", если я не ошибаюсь, для тензора. И еще миллион таких "а что если?", которые не всегда помогают жить. лучше ведь быть как все, сказали тебе про определитель? Вот заучил определение и сиди.
Прошу не судить строго. Я знаю что я ничего не знаю. И я очень постараюсь употреблять только общепринятые термины.

Одно из этих "а что если?" привело меня к вопросу о координатах точки в двухмерном пространстве. Для однозначного определения положения точки в прямоугольной системе координат нужны значения абсциссы и ординаты. А что если мы вспомним о полярной системе координат и введем некоторые допущения?

Представим себе систему координат которая имеет в своей основе спираль Архимеда.

Введем допущение о том, что мы можем однозначно определить положение любой точки лежащей на спирали с помощью лишь одной координаты: числа, которое покажет удаленность точки от начала спирали, точки 0. То есть двигаясь по спирали от точки ноль, мы непременно придем к нашей точке, на каком бы участке спирали она не лежала.
Теперь самая странная часть: введем допущение, что расстояние радиус-вектор r, расстояние между витками спирали, есть точка. Можем назвать это точкой или "неделимой частью данного пространства". С этого момента и начнется критика в мой адрес, но я на самом деле не знаю, как описать это в общепринятых терминах, искренне прошу прощения. Надеюсь, что вы дочитаете до конца. После такого, казалось бы, нелогичного допущения следует логичный вывод: мы можем пронумеровать все точки данной плоскости и однозначно определить положение точки на плоскости одной координатой. Фактически номером точки. не спешите смеяться, дальше будет лучше.

Через точку 0, начало спирали, перпендикулярно плоскости спирали Архимеда проведем линию, которая послужит нам координатной осью, назовем ее прямая А. Теперь мы имеем дело с пространством, в котором положение точки можно однозначно определить двумя координатами: координатой относящейся к положению точки относительно спирали и координатой относящейся к положению точки относительно нашей прямой.

Следующим логичным этапом следует замена прямой А второй спиралью Архимеда, плоскость которой будет так же перпендикулярна первой спирали Архимеда. В этой системе координат мы можем однозначно задать положение точки в четырехмерном пространстве с помощью двух координат. В общем случае с помощью спиралевидных осей координат мы можем задавать точку в n-мерном пространстве n/2 координатами, где n - четное.

Краеугольным камнем является допущение о длине радиус-вектора между спиралями и вообще допущения мысли о таком пространстве, где данное допущение выполнимо. Ведь следую такой же логике мы можем провести такой же мысленный эксперимент в трехмерном и вообще n-мерном пространстве, выбрав точку отсчета и способ определения положения точки в этом пространстве с помощью одной координаты.

Вопрос: имеет ли все вышеперечисленные мысли хоть какое-то отношение к реальным научным трудам, теориям, идеям?

Спасибо, что сумели дочитать до конца. Буду очень рад вашим комментариям, даже понимая, что не заслуживаю и на них :)

[demolishka]

Непонятно вот это

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

введем допущение, что расстояние радиус-вектор r, расстояние между витками спирали, есть точка

Так что оценить конструкцию не удалось. Но если вашей целью было задание точки $\mathbb{R}^n$ количеством координат меньшим чем $n$, то спешу вас разочаровать это можно сделать одной координатой для всех $n$. Только это непрактично.

[AlexDem]

(тоже отправлю, зря что ли набирал...)

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

Введем допущение о том, что мы можем однозначно определить положение любой точки лежащей на спирали с помощью лишь одной координаты: числа, которое покажет удаленность точки от начала спирали, точки 0.

Какого именно числа? Например, каждой точке плоскости с координатами $(x, y)$ можно однозначно сопоставить комплексное число $x+yi$.

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

После такого, казалось бы, нелогичного допущения следует логичный вывод: мы можем пронумеровать все точки данной плоскости

Пронумеровать (что подразумевает натуральные числа) не можем в силу неравенства мощностей: $\mathfrak c > \aleph_0$.

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

В общем случае с помощью спиралевидных осей координат мы можем задавать точку в n-мерном пространстве n/2 координатами, где n - четное.

В силу равномощности прямой, плоскости и любого другого конечномерного пространства это утверждение тривиально: нужно просто однозначно отобразить все точки пространства $n$ измерений на прямую, и там ввести координаты.

Впрочем, может Ваши координаты обладают какими-то хорошими свойствами по сравнению с?

[Anton_Peplov]

ShyGuest
По сути Вам уже все сказал AlexDem, я уточню, что прочесть хотя бы в Вики, чтобы разобраться.
Прочтите о понятии "мощность множества", и Вы поймете, что точку на плоскости, в трехмерном пространстве и т.д. можно задать одним числом, так как у всех этих множеств равная мощность с прямой.

[Утундрий]

У меня несколько гноссеологический вопрос. Спиралоконусна ли ваша спиральная система координат? Это очень важно на самом деле. Впрочем, не менее важна степень ларгеномности вашей спирали. Пронзит ли она небеса или только скважину какую пробурит? Спасибо за внимание и да пребудет с вами Сила Спирали!

[AlexDem]

ShyGuest, вот - почитайте лучше простые книжки какие-нибудь, например - В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович "Наглядная топология". Или вот:

Brukvalub в сообщении #913622 писал(а):

следит ли кто-либо за издающейся сейчас на русском языке серией популярных книг по математике под общим названием "Мир математики" издательства De Agostini?

Munin в сообщении #913660 писал(а):

Я слежу. Например, здесь (список изданных томов - они практически сразу сканируются): http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=4781160

[arseniiv]

Добавлю и я своей ерунды.

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

Вопрос: имеет ли все вышеперечисленные мысли хоть какое-то отношение к реальным научным трудам, теориям, идеям?

А чего вы вопрос-то задаёте? Выпишите преобразование этой единственной координаты в какие-нибудь известные (декартовы, полярные, да хоть барицентрические) на плоскости, тогда и поговорим. А так вы, собственно, ничего и не написали.

От одной координаты для точек плоскости, как уже сказал demolishka, особого толку нет — точка плоскости как функция этой одной координаты не может быть непрерывной (если координата есть у каждой точки), это известная вещь.

(А если ближе к теме…)

Если бы я решил сделать «спиральную систему координат», я бы основал её на логарифмической спирали. Координатам $(A,B)$ сопоставим точку с полярными координатами $r = \exp(cA-sB)$, $\varphi = sA + cB$, где $c, s$ — это косинус и синус какого-то фиксированного числа $\theta$ (оно определяет всю систему координат). Координатные кривые $A=0$ и $B=0$ представляют собой логарифмические спирали, притом у этих двух семейств кривых хорошее свойство — они ортогональны, т. е. любые две кривые каждая из своего пересекаются друг с другом под прямым углом. (А если $\theta=\pi n/2$, получается полярная система координат, в которой координатные спирали вырождаются в окружности и лучи.)

С архимедовыми же спиралями попытки подобного завели бы не знай куда.

[мат-ламер]

ShyGuest
Во всякой деятельности должен быть смысл. И нужно отличать понятия "можно" и "нужно". Попробуйте найти правктическое применение своих идей. Допустим, рассмотрите вращающуюся чёрную дыру и найти для этого процесса какую-то свою особую систему координат, в которой решение будет записываться просто. Тогда вам спасибо скажут.

[grizzly]

Поощрил, так сказать, фактом голосования.
ShyGuest
Как уже сказали выше, основная проблема такой системы координат в том, что две точки, которые интуитивно воспринимаются как очень близкие, имеют очень большую разницу в координатах. Намного большую, чем диаметрально далёкие точки. Это большой минус с точки зрения интуиции. Если у Вас нет компенсирующей идеи -- как этот минус превратить в плюс или какой-нибудь другой с плюсом, то для математики идея с этой системой координат останется бесполезной.
И да -- не надейтесь, что кто-то такую идею придумает за Вас. Если даже такое произойдёт -- все лавры достанутся тому человеку

[Brukvalub]

Несусветная глупость, и ничего более. См. бритву Оккама.

[AlexDem]

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

В бытность студентом, да и в школьные годы, я старался всегда задавать вопрос "а что если?". Определитель? А что если вычислить его для "кубической матрицы", если я не ошибаюсь, для тензора. И еще миллион таких "а что если?", которые не всегда помогают жить. лучше ведь быть как все, сказали тебе про определитель? Вот заучил определение и сиди.

Занятие похвальное, но, по-моему, в данном виде бесполезное. Вместо этого стоило бы понять - а с какой целью вводится определитель, почему именно таким образом. Постановка вопросов в таком виде, как приводите Вы - это лишь свидетельство наличия интереса, к которому нужно приложить ещё и усердие. А то будет всё по верхам, по верхам - и ничего толком...

[ShyGuest]

Anton_Peplov в сообщении #1009083 писал(а):

ShyGuest
я уточню, что прочесть хотя бы в Вики, чтобы разобраться.
Прочтите о понятии "мощность множества", и Вы поймете, что точку на плоскости, в трехмерном пространстве и т.д. можно задать одним числом, так как у всех этих множеств равная мощность с прямой.

AlexDem в сообщении #1009087 писал(а):

ShyGuest, вот - почитайте лучше простые книжки какие-нибудь, например - В.Г.Болтянский, В.А.Ефремович "Наглядная топология". Или вот:

Brukvalub в сообщении #913622 писал(а):

следит ли кто-либо за издающейся сейчас на русском языке серией популярных книг по математике под общим названием "Мир математики" издательства De Agostini?

Munin в сообщении #913660 писал(а):

Я слежу. Например, здесь (список изданных томов - они практически сразу сканируются): http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=4781160

Спасибо за совет, этим и займусь :wink:

Утундрий в сообщении #1009086 писал(а):

У меня несколько гноссеологический вопрос. Спиралоконусна ли ваша спиральная система координат? Это очень важно на самом деле. Впрочем, не менее важна степень ларгеномности вашей спирали. Пронзит ли она небеса или только скважину какую пробурит? Спасибо за внимание и да пребудет с вами Сила Спирали!

Спасибо, посмеялся :D Напомнило Станислава Лема почему-то.

arseniiv в сообщении #1009105 писал(а):

От одной координаты для точек плоскости, как уже сказал demolishka, особого толку нет — точка плоскости как функция этой одной координаты не может быть непрерывной (если координата есть у каждой точки), это известная вещь.

(А если ближе к теме…)

Если бы я решил сделать «спиральную систему координат», я бы основал её на логарифмической спирали. Координатам $(A,B)$ сопоставим точку с полярными координатами $r = \exp(cA-sB)$, $\varphi = sA + cB$, где $c, s$ — это косинус и синус какого-то фиксированного числа $\theta$ (оно определяет всю систему координат). Координатные кривые $A=0$ и $B=0$ представляют собой логарифмические спирали, притом у этих двух семейств кривых хорошее свойство — они ортогональны, т. е. любые две кривые каждая из своего пересекаются друг с другом под прямым углом. (А если $\theta=\pi n/2$, получается полярная система координат, в которой координатные спирали вырождаются в окружности и лучи.)

С архимедовыми же спиралями попытки подобного завели бы не знай куда.

Пока ничего не понял ни в первом, ни во втором пункте. Вернусь к этому после прочтения книг, которые посоветовали выше.

Спасибо за ответы, друзья :)

[AlexDem]

(Оффтоп)

ShyGuest в сообщении #1009382 писал(а):

Пока ничего не понял ни в первом, ни во втором пункте. Вернусь к этому после прочтения книг, которые посоветовали выше.

Непрерывность отвечает за то, чтобы любые две интуитивно близкие точки имели бы сходные координаты. Если это свойство не нужно, то можно сделать, как я говорил - отобразить всё пространство на прямую, только толку от таких координат мало. Непрерывность тесно связана с топологией как раз.

[one man]

ShyGuest в сообщении #1009078 писал(а):

Я пишу здесь, потому что мне не с кем обсудить математические проблемы - среди моих знакомых просто нет специалистов в этой области.

Если Вы ещё этого не сделали, то могу Вам посоветовать приобщиться к какому-нибудь серьёзному мат пакету или пакетам (СКА). В них заложено столько информации, что ещё не найти в справочниках. Кроме этого там можно "чужими руками" совершать действия с довольно сложными математическими выражениями, причём от численных методов до аналитики. И специальных форумов достаточно.