Исследуем вопрос определенности (точности) числа

[AGu]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1008796 писал(а):

Потому что нет, черт возьми, никакого деления.

Если это было сказано для тех, кто упорствует в желании делить на ноль, — поддерживаю, это может охладить их пыл. А если это была реакция на замечание bot, то — возражаю. В некоторых более общих случаях (выходящих за рамки числового) есть разумные и удобные определения частичной операции деления, предусматривающие деление на необратимые элементы.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1008797 писал(а):

Если это было сказано для тех, кто упорствует в желании делить на ноль

Именно.

AGu в сообщении #1008797 писал(а):

В некоторых более общих случаях (выходящих за рамки числового) есть разумные и удобные определения частичной операции деления, предусматривающие деление на необратимые элементы.

Например?

[AGu]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1008800 писал(а):

AGu в сообщении #1008797 писал(а):

В некоторых более общих случаях (выходящих за рамки числового) есть разумные и удобные определения частичной операции деления, предусматривающие деление на необратимые элементы.

Например?

Более-менее общий подход тут такой: если необратимый объект $y$ в каком-то смысле разбивается на обратимую и нулевую компоненты: $y=y_1\oplus y_2=y_1\oplus 0$, то удобно полагать $x/y := x_1y_1^{-1}\oplus 0$. Это вполне соответствует интуиции и упрощает выкладки. (Этакое покомпонентное деление, напоминающее соглашение $x/0=0$.) Едва ли подобные примеры способны кого-то впечатлить. Суть в том, что они есть. Просто в запрете каких бы то ни было (корректных) определений нет логической нужды. Определение может быть полезным и удобным или вредным и запутывающим, но эта оценка лежит вне математики. Вот и все дела.

[Anton_Peplov]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #1008828 писал(а):

если необратимый объект $y$ в каком-то смысле разбивается на обратимую и нулевую компоненты:

Если разбивается единственным образом, то да. А если не единственным, от такого определения будет больше вреда, чем пользы.

[AGu]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1008840 писал(а):

А если не единственным, от такого определения будет больше вреда, чем пользы.

Вы весьма точно поняли мои туманные намеки. Более того, если то разложение не единственно, определение будет некорректным, т.е., строго говоря, вообще не будет определением.

[bot]

Anton_Peplov в сообщении #1008796 писал(а):

нет, черт возьми, никакого деления

Ошибаетесь - понятие деления более общее, чем обращение. Для определение делений (левого или правого) нужны только существование и единственность решений уравнения $ax=b$ или $xa=b$ и никаких единиц, никаких обратных не требуется. В группе есть единица и деление связано с умножением на обратный (то есть решением уравнения с единицей вместо $b$). В общем случае такой связи нет, даже если единица и есть "обратный", точнее два - левый и правый.
Так что, чёрт - не забирай лишнего, отдавай деления, откуда забрал.

[Anton_Peplov]

bot в сообщении #1008858 писал(а):

Для определение делений (левого или правого) нужны только существование и единственность решений уравнения $ax=b$ или $xa=b$ и никаких единиц, никаких обратных не требуется.

Как называются алгебраические структуры, в которых нет единиц и обратных, но есть левое и/или правое деление?

[Otta]

В евклидовых кольцах не оговаривается существование обратного элемента.
Так, многочлен на многочлен мы делить умеем. Но обратный элемент, вообще говоря, не существует.

[Anton_Peplov]

Ах, ну да. Вылетело из головы, что в кольцах определяются две операции, причем обратный и нейтральный элемент требуется только для одной (которую обычно именуют сложением). А я думаю: что за фигня, даже в группах требуется нейтральный и обратный элемент, что может быть проще группы?..

[Otta]

"Проще" - слово сложное.

Проще - это то, в чем больше ограничений, и как следствие, его легче описать? или наоборот?

Две операции совсем необязательно. Еще полугруппы есть. А еще есть полугруппы с делением. Там тоже нет обратного элемента.

Евклидово кольцо было как пример, что в принципе может быть.

[Anton_Peplov]

Ну, в данном случае я имел в виду "проще = меньше ограничений". Хотя, конечно, теоремы от этого доказывать не проще, а сложнее.
Про полугруппы знаю, а вот про полугруппы с делением впервые слышу. Эх, век живи, век учись...

[bot]

Anton_Peplov в сообщении #1008870 писал(а):

Как называются алгебраические структуры, в которых нет единиц и обратных, но есть левое и/или правое деление?

Квазигруппами. Квазигруппы с единицей - лупами. Лупы с обращением, то есть деления совпадают с умножением на обратные - IP-лупами.

ЗЫ. Полугруппы с делением (точнее с обоими) - это только группы.