Независимые компоненты тензора кривизны(внутренней)

[Sicker]

Число независимых компонентов тензора кривизны Римана равно $\frac{n^2(n^2-1)}{12}$, те для двухмерного многообразия он имеет одну компоненту, скалярную кривизну, для трехмерного, если не ошибаюсь, шесть компонент, для четырехмерного двадцать.
Но у меня получается на $n$ компонент больше!
Например, рассмотрим двухмерное многообразие, и локальный базис в точке, теперь переместим его по замкнутому контуру, и этот базис повернется относительно первоначального, те одна координата характеризует кривизну-угол поворота, и соответственно тензор имеет одну независимую компоненту.
Рассмотрим трехмерное многообразие, тут уже число параметров, характеризующих поворот трехмерного локального базиса при перемещении вокруг замкнутого контура описывается тремя параметрами, осью поворота(долгота и широта) и углом, а количество независимых контуров перемещения равно трем(плоскости $xy,xz,yz$), получается что $3\cdot3=9$, а не шесть.
Для четырехмерного будет четыре параметра для поворота-ось(долгота, широта, еще какая то фигня в четырехмерном пространстве) и угол поворота, а количество независимых контуров перемещения шесть $xy,xz,xt,yz,yt,zt$, получается $24$
Что я не так понимаю?

[Утундрий]

Тождества Бьянки потеряли...

[Sicker]

Не понял, где потерял

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1008727 писал(а):

осью поворота(долгота и широта) и углом

Sicker в сообщении #1008727 писал(а):

Для четырехмерного будет четыре параметра для поворота-ось(долгота, широта, еще какая то фигня в четырехмерном пространстве) и угол поворота

(1) Дались вам эти широты и долготы! В трёхмерном пространстве ось поворота проще задать вектором. Если его взять единичным, то можно, умножив на угол поворота, получить т. н. rotation vector, откуда три компоненты сразу видны без всяких широт, для которых нужно сначала ввести сферические координаты.
(2) На самом деле правильнее задавать поворот не осью, а ориентированной плоскостью, которую можно задать внешним произведением двух векторов (которое опять можно взять единичной величины и умножить на угол). Ось получится, если подействовать звёздочкой Ходжа. В четырёхмерном же пространстве, во-первых, таким способом из бивектора получается бивектор и, во-вторых, в одном ортогональном преобразовании могут сочетаться два поворота на разные углы в ортогональных плоскостях, так что про четырёхмерие у вас как минимум дважды неверно, четырёх чисел будет недостаточно (надо, если не напутал, 9).

[UPD: Напутал. 6, 6, 6.]

(Небольшой фикс.)

Sicker в сообщении #1008727 писал(а):

компонентов

Р. п. мн. ч. от компонента будет компонент. Ваша форма — это р. п. мн. ч. от компонент (это просто к слову, т. к. вы совершенно правильно с ним здесь первое слово не путали).

Sicker в сообщении #1008727 писал(а):

двухмерного

Двумерного.

[Утундрий]

Sicker в сообщении #1008741 писал(а):

Не понял

Гугль там ==>
Гуглить "Тождества Бьянки". Если прогуглите правильно, то нагуглите тождества Бьянки. После чего вам останется только прочитать про эти самые тождества Бьянки. Если прочитаете правильно, то будете знать, что такое тождества Бьянки.

P.S. Предвосхищая следующий вопрос: алгебраические.

[Sicker]

arseniiv
Спасибо за поправки
Утундрий
Я где в моих рассуждениях изъян, Вы его можете указать?
Может быть я один лишний контур посчитал?

[Munin]

Речь не о контурах.

Что такое тождества Бьянки, можно очень подробно почитать в конце 1-го тома МТУ.

[SergeyGubanov]

Sicker в сообщении #1008899 писал(а):

Я где в моих рассуждениях изъян, Вы его можете указать? Может быть я один лишний контур посчитал?

Так ведь не понятно причём тут вообще подсчёт контуров, поэтому не понятно какой-такой изъян искать в их подсчёте.

Формула такая:

$$ \frac{n^2 (n^2 - 1)}{12} = \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)^2 - n \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} $$

Первое слагаемое из-за антисимметрии по первой и по второй паре индексов: $\frac{n(n-1)}{2} \times \frac{n(n-1)}{2}$.

Второе слагаемое из-за $n \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}$ алгебраических тождеств Бъянки:

$$ {\mathcal{R}^{(a)}}_{(b)} \wedge e^{(b)} = 0 $$

[Утундрий]

$R_{\mu \nu \alpha \beta } = - R_{\mu \nu \beta \alpha } = - R_{\nu \mu \alpha \beta } $, значит перед нами матрица ${{n\left( {n - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n - 1} \right)} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} \times {{n\left( {n - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n - 1} \right)} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2}$.
$R_{\mu \nu \alpha \beta } = R_{\alpha \beta \mu \nu } $, значит эта матрица симметрична, что даёт ${{n\left( {n - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n - 1} \right)} 4}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 4}\left[ {{{n\left( {n - 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n - 1} \right)} 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 2} + 1} \right]$ независимых компонент.
Но ещё нужно вычесть тождества $R_{\mu \alpha \beta \gamma } + R_{\mu \beta \gamma \alpha } + R_{\mu \gamma \alpha \beta } = 0$, коих, как нетрудно заметить, ровно ${{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)} {4!}}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {4!}}$.
В итоге

$$\[ \frac{{n\left( {n - 1} \right)}} {4}\left[ {\frac{{n\left( {n - 1} \right)}} {2} + 1} \right] - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)}} {{4!}} = \frac{{n^2 \left( {n^2 - 1} \right)}} {{12}} \] $$

[Sicker]

SergeyGubanov в сообщении #1008959 писал(а):

Так ведь не понятно причём тут вообще подсчёт контуров, поэтому не понятно какой-такой изъян искать в их подсчёте.

Так ведь кривизна это угловой деффект вектора при параллельном переносе вектора по замкнутому контуру.

[Утундрий]

Sicker в сообщении #1009082 писал(а):

Так ведь кривизна это угловой деффект вектора при параллельном переносе вектора по замкнутому контуру.

А верёвка - это вервие простое. И чё?

[arseniiv]

(Фиксы продолжаются…)

Sicker в сообщении #1009082 писал(а):

деффект

Дефект.

[Sicker]

Утундрий
А правильно ли я рублю суть тензора кривизны то? Те, мое описание кривизны полнО или нет?

[Munin]

В четырёх координатах поворот описывается не 4, а 6 параметрами. Вообще в $n$ координатах - $n(n-1)/2$ параметрами.

[Sicker]

Ясно, но все равно не сходится