Ротор градиента и обобщённые функции

[g______d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1008542 писал(а):

С другой, у Вас там в первом переходе, кажется, минус лишний (в том смысле, что там два минуса).

Да, наверное; аккуратнее надо с векторными операторами...

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1008449 писал(а):

(И сомневаюсь, что поможет использование обобщённых функций, хотя кто знает).

Понял, что погорячился.

-- Пн апр 27, 2015 18:36:42 --

g______d в сообщении #1008532 писал(а):

Техника и терминология обобщённых функций. И все операции вычислять по определению, через пробные функции. Например, Шубин, "Лекции об уравнениях математической физики", страница 80.

Спасибо за ссылку. Мне вот этого не хватает - как обобщённые функции работают в многомерном случае. Вообщем, понял, что также как и в одномерном. Только функционалы определеяются через другие интегралы.

-- Пн апр 27, 2015 18:39:00 --

g______d в сообщении #1008496 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1008449

писал(а):
Однако проходит доказательство, если ротор определять через циркуляцию, которая для поля, являющимся градиентом некоторого скалярного поля, равна нулю.

Каким образом?

Поле, которое есть градиент скалярного поля, будет потенциальным. И циркуляция по любому контуру такого поля нулевая. Хотя, может тут есть нюансы, которые не учёл.

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1008560 писал(а):

Только функционалы определеяются через другие интегралы.

Другие???

мат-ламер в сообщении #1008560 писал(а):

Поле, которое есть градиент скалярного поля, будет потенциальным. И циркуляция по любому контуру такого поля нулевая. Хотя, может тут есть нюансы, которые не учёл.

Какая разница между одним и другим? В одном случае вы дифференцируете только в тех точках, где поле определено; в другом -- контур должен проходить только по таким точкам, иначе интеграл разойдётся.

[svv]

Хорошо, а как проверить, что для заряда $q$ в начале координат $\operatorname{div}\mathbf E=4\pi q\;\delta(\mathbf r)$ ?
Для этого надо показать, что для любой скалярной пробной функции $u$
$(\Delta\frac 1 r, u)=-4\pi u(\mathbf 0)$
Но цепочка
$(\Delta\frac 1 r, u)=-(\operatorname{grad}\frac 1 r, \operatorname{grad}u)=(\frac 1 r, \Delta u)$
ничем не поможет. Наоборот, она создает ложное впечатление, что результат может зависеть от производных $u$ в точке $\mathbf r=\mathbf 0$.

[ewert]

svv в сообщении #1008568 писал(а):

как проверить, что для заряда $q$ в начале координат $\operatorname{div}\mathbf E=4\pi q\;\delta(\mathbf r)$ ?

Стандартный способ такой. Сначала формально перекинуть лапласиан на пробный сомножитель -- это корректно по определению. Затем вырезать бесконечно маленький шарик с центром в начале координат -- интеграл при этом не изменится. А потом перекинуть в интеграле по полученной дырявой области лапласиан обратно на потенциал. Тройной интеграл при этом исчезнет, т.к. вне нуля лапласиан от потенциала всё-таки нулевой. Зато появится внеинтегральный член -- поверхностный интеграл по поверхности бесконечно маленько сферы, вот он-то и даст значение пробной функции в центре (умноженное на площадь единичной сферы).

Причём это делается совершенно одинаково во всех размерностях.

[g______d]

svv в сообщении #1008568 писал(а):

ничем не поможет

Поможет. Ровно это вычисляется на странице 80 Шубина, и ровно так же начинается, как у Вас. Дальше выкинуть маленькую окрестность нуля и применить формулу Грина.

А сразу этого нельзя было сделать, потому в левой части ещё не интеграл, а действие обобщённой функции, заранее не известно, регулярной или нет.

А выкидывать окрестность нуля нужно, потому что без этого подынтегральное выражение не будет удовлетворять условиям теоремы Грина; и за счёт границы этой окрестности нуля как раз появится $\delta(x)$.

[мат-ламер]

g______d в сообщении #1008561 писал(а):

Другие???

Другие, в смысле не одномерные, а, допустим, тройные, или по контуру.

[svv]

Да, спасибо, проделал, всё получилось.

[мат-ламер]

g______d в сообщении #1008561 писал(а):

Какая разница между одним и другим? В одном случае вы дифференцируете только в тех точках, где поле определено; в другом -- контур должен проходить только по таким точкам, иначе интеграл разойдётся.

Ну вот, я не учёл, что равенство нулю циркуляции для потенциального поля в случае, если контур проходит через особую точку, надо доказывать отдельно.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #1008598 писал(а):

равенство нулю циркуляции для потенциального поля в случае, если контур проходит через особую точку, надо доказывать отдельно.

Не надо это доказывать. Как может равняться нулю то, что не существует?

[мат-ламер]

ewert в сообщении #1008600 писал(а):

Не надо это доказывать. Как может равняться нулю то, что не существует?

А понял, что ступил. Интеграл там расходящийся действительно.

-- Пн апр 27, 2015 20:23:43 --

Но в определении ротора контур вроде и не обязан проходить через особую точку?

-- Пн апр 27, 2015 20:25:02 --

Цитата:

Ротор векторного поля — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L, являющемуся краем плоской площадки ΔS, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1008601 писал(а):

Но в определении ротора
контур вроде и не обязан проходить через особую точку?

Ну там в определении есть слово "предел", а по какой площадке -- не сказано. Следовательно, для его существования нужно, чтобы он не зависел от того, какая именно площадка; в том числе и в случае, если край задевает особую точку.

Если мы вне особой точки, то такой проблемы нет; "размеры площадки стремятся к нулю" означает, что её диаметр тоже стремится к нулю, следовательно, с какого-то момента она не сможет задевать особую точку.

[Deggial]

Название темы дополнено

[Munin]

g______d в сообщении #1008532 писал(а):

Техника и терминология обобщённых функций. И все операции вычислять по определению, через пробные функции. Например, Шубин, "Лекции об уравнениях математической физики"

Добавлю с моей "книжной полки" (может быть, "для физика" это получше книги?)
Рихтмайер. Принципы современной математической физики. Т. 1.
(там обобщённые функции называются распределениями - потому что по-английски distributions; и саму книгу иногда называют не "Принципы...", а "Методы...").

[g______d]

Munin в сообщении #1008653 писал(а):

саму книгу иногда называют не "Принципы...", а "Методы..."

Вы с Ридом и Саймоном не путаете?