Понятие предела (пример из книжки "Что такое математика?")

[bayah]

Здравствуйте. Что-то не могу разобраться в тривиальном, как кажется, примере.



Это то определение (4) на стр. 74 на которое ссылка в тексте:


1). Почему нам вообще нужно доказывать, что $0<q<1$ в степени n стремиться к $0$ при $n$ стремящемся к бесконечности? Разве это не очевидно?

2). Если мы все же беремся доказывать это утверждение, то мне не понятно, как мы перешли к неравенству $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$.
А именно, откуда взялся $0$? Понятно, что $q$ положительное, и значит любая ее степень всегда будет больше $0$, но тут же у нас неравенство,
на основании которого мы потом утверждаем, что $q^n$ стремиться к $0$, но почему в то же время, нижняя граница не может быть отличной от нуля?

3). Чем последнее неравенство лучше или яснее изначальной данности? Зачем нам $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$, если изначально было ясно, что $0<q^n<q^{n-1}$ ?

4). И еще не понятно, каким образом мы приходим к неравенству: $- \frac 1 p \cdot \frac 1 n<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$ при отрицательном $q$?

Спасибо.

[NSKuber]

bayah в сообщении #1007437 писал(а):

1). Почему нам вообще нужно доказывать, что $0<q<1$ в степени n стремиться к $0$ при $n$ стремящемся к бесконечности? Разве это не очевидно?

Видимо, автор решил это сделать строго. Хотя, по-моему, как-то странно "строго доказывать" тривиальное утверждение, используя другое не более и не менее тривиальное утверждение (стремление $\frac{1}{n}$ к нулю). Я после слов "строго" ожидал доказательства через определение предела.

bayah в сообщении #1007437 писал(а):

А именно, откуда взялся $0$? Понятно, что $q$ положительное, и значит любая ее степень всегда будет больше $0$

Вы же сами на свой вопрос ответили. Пользуемся тем, что знаем об этой последовательности, и этого оказалось достаточно для доказательства. И зачем нам тогда какая-то другая нижняя граница?

bayah в сообщении #1007437 писал(а):

3). Чем последнее неравенство лучше или яснее изначальной данности? Зачем нам $0<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$, если изначально было ясно, что $0<q^n<q^{n-1}$ ?

Тем, что автор уже знает, что $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а изначальное неравенство вообще ничего полезного не даёт. Например, пусть $a_n=(1+\frac{1}{n})^{-n}$. Тогда $0<a_n<a_{n-1}$, но про точный предел $a_n$ отсюда ничего не извлечёшь.

bayah в сообщении #1007437 писал(а):

4). И еще не понятно, каким образом мы приходим к неравенству: $- \frac 1 p \cdot \frac 1 n<q^n<\frac 1 p \cdot \frac 1 n$ при отрицательном $q$?

Проще всего навесить модуль на $q^n$ и увидеть, что мы пришли к предыдущему случаю.

[bot]

В чём проблема? Очевидно то, что легко доказать.
Есть определение предела и есть некоторое утверждение. Вот и надо показать, как оно следует из определения и из других уже доказанных утверждений. А очевидно и легко - не математические категории.

[bayah]

NSKuber в сообщении #1007441 писал(а):

Тем, что автор уже знает, что $\frac{1}{n}$ стремится к нулю, а изначальное неравенство вообще ничего полезного не даёт. Например, пусть $a_n=(1+\frac{1}{n})^{-n}$. Тогда $0<a_n<a_{n-1}$, но про точный предел $a_n$ отсюда ничего не извлечёшь.

А, ну да. В таком случае смысл сведения к $\frac 1 n$ есть.
Так, ну а если просто сказать, что так как $q = \frac a b$, где $a<b$, то при неограниченном возведении $q$ в степень $n$, $b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться. Такое рассуждение можно считать доказательством?

[bot]

bayah в сообщении #1007566 писал(а):

Такое рассуждение можно считать доказательством?

Ни разу.
К примеру, дробь $\frac{n-1}{2n}$ с ростом $n$ растёт, а знаменатель увеливается больше, чем числитель. И уменьшаться тоже можно по-разному. Например, $1+\frac1n$ уменьшается, но к нулю не стремится.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Стартовый пост поправьте, пожалуйста. Ссылки на изображения нерабочие. По возможности, лучше вообще избегать картинок.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[bayah]

bot в сообщении #1007579 писал(а):

Ни разу.
К примеру, дробь $\frac{n-1}{2n}$ с ростом $n$ растёт, а знаменатель увеличивается больше, чем числитель. И уменьшаться тоже можно по-разному. Например, $1+\frac1n$ уменьшается, но к нулю не стремится.

Ну да, все так. Но я все же имел ввиду конкретный случай последовательности, когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений? Чем тогда последовательность $\frac 1 n$ лучше, чтобы уверенно утверждать что она стремиться к $0$?

[NSKuber]

bayah
Странный ответ: Вы "обосновываете" утверждение A о какой-то последовательности рассуждениями B, а когда вам показывают, что рассуждения B применимы к последовательности, не удовлетворяющей A, говорите, мол, ну я же для другой последовательности доказывал, всё нормально!
Ваши рассуждения - не доказательство. Сами прочитайте, что вы в итоге получили:

bayah в сообщении #1007566 писал(а):

значит $q^n$ будет уменьшаться.

bot продемонстрировал, что отсюда стремления к нулю не следует.
А $\frac{1}{n}$ лучше тем, что любой за несколько секунд сможет доказать стремление её к нулю по определению предела. Хотя в этом она совсем ненамного лучше $q^n$

[bayah]

NSKuber в сообщении #1008117 писал(а):

Странный ответ: Вы "обосновываете" утверждение A о какой-то последовательности рассуждениями B, а когда вам показывают, что рассуждения B применимы к последовательности, не удовлетворяющей A, говорите, мол, ну я же для другой последовательности доказывал, всё нормально!

Что-то вы меня запутали.)
Я уточнил, что мое высказывание было неверно, и предложил другое:

bayah в сообщении #1008029 писал(а):

когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений? Чем тогда последовательность $\frac 1 n$ лучше, чтобы уверенно утверждать что она стремиться к $0$?

Это рассуждение верное?
Хорошо, а как доказывается стремление к $0$ дроби $\frac 1 n$ ?

[Otta]

По определению предела последовательности.

[NSKuber]

bayah в сообщении #1008439 писал(а):

Это рассуждение верное?

bayah в сообщении #1008029 писал(а):

когда $n$ - показатель степени, а основание - дробь $\frac a b$, где $a<b$. Почему именно в таком случае для доказательства не достаточно моих рассуждений?

Вы про это? Это не самостоятельное рассуждение, а ссылка на предыдущее рассуждение. Взглянем на него:

bayah в сообщении #1007566 писал(а):

Так, ну а если просто сказать, что так как $q = \frac a b$, где $a<b$, то при неограниченном возведении $q$ в степень $n$, $b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться. Такое рассуждение можно считать доказательством?

Если окончательный вывод этого рассуждения - "$b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться", то вам уже привели контрпримеры, которые к нулю не стремятся, но вышенаписанному удовлетворяют. Если я неправильно понял - прошу вас чётко и ясно написать цельное рассуждение, которое, как вам кажется, доказывает требуемое стремление, и будем с ним разбираться.

[bayah]

Otta в сообщении #1008444 писал(а):

По определению предела последовательности.

А как определяется предел последовательности?
Какое строгое определение?

NSKuber в сообщении #1008580 писал(а):

Если окончательный вывод этого рассуждения - "$b$ будет увеличиваться на большее значение, чем $a$, а значит $q^n$ будет уменьшаться", то вам уже привели контрпримеры, которые к нулю не стремятся, но вышенаписанному удовлетворяют. Если я неправильно понял - прошу вас чётко и ясно написать цельное рассуждение, которое, как вам кажется, доказывает требуемое стремление, и будем с ним разбираться.

Тут я все же имел ввиду $a$ и $b$ постоянные целые, не зависящие от n величины.

[arseniiv]

bayah в сообщении #1009798 писал(а):

А как определяется предел последовательности?

Как предел по базе $\{\{m : m\in\mathbb N, m\geqslant n\} : n\in\mathbb N\}$.

[NSKuber]

bayah в сообщении #1009798 писал(а):

Тут я все же имел ввиду $a$ и $b$ постоянные целые, не зависящие от n величины.

Вы пропустили мимо половину процитированного сообщения. Напишите, пожалуйста, полностью, от начала и до конца, ваше рассуждение, которое вы считаете доказательством стремления $q^n$ к нулю и мы разберёмся, верное оно или нет, и если нет - то что конкретно не так.