Равномощность прямой и плоскости

[fractalon]

Здравствуйте! Слышал где-то, что множество ${\mathbb R}^2$ континуально, так же как ${\mathbb R}$. Нагуглить по этому поводу ничего не удалось, а сам над доказательством думал долго... что-то придумал, но то, что я придумал кажется сильно замудрённым, поэтому прошу знающих поделиться более-менее общепринятым доказательством.

[Anton_Peplov]

Погуглите запрос "кривые Пеано". UPD: глупость сказал.

[demolishka]

$\mathbb{R}$ равномощно множеству всех двоичных последовательностей. Вот попробуйте построить туда биекцию из $\mathbb{R}^2$.

[fractalon]

Кажется, я очень сильно затупил... Можно просто поделить единичный квадрат на 4 равных области, каждой назначить цифру, области ещё поделить по 4, и так далее... Получим для двумерной точки бесконечно циферок от 0 до 3, что есть вещественное число из $[0;1]$...
И demolishka тут как тут как только мне эта мысль уже пришла
Мда... извиняюсь за тупой вопрос.

[demolishka]

Делить квадрат конечно можно, но что вы будете делать, если я предложу доказать следующий факт: "Если $\mathcal{X}$ имеет мощность континуума, то $\mathcal{X}^k$ также имеет мощность континуума для всякого $k \in \mathbb{N}$ (на самом деле и для $k=\infty$).

[iifat]

Ну, для любого конечного $k$ доказательство верно с точностью до постоянного коэффициента, вообще-то.