Допустим уравнение ВТФ является производной. Проинтегрируем.

[ananova]

Рассмотрим простейший случай: $z-y=1$ для $n=3$

$$x^3=z^3-y^3=(y+1)^3-y^3\ren(1)$$

Если этот случай будет доказан, то остальной случай $z-y>1$ будет показан, как следствие.

Допустим уравнение ВТФ является производной. Если мы проинтегрируем левую и правую часть (1), то результат должен остаться уравнением:

$$\frac {x^4} 4 + D=y^3+\frac {3y^2} 2 +y+C\ren(2)$$

Но, в таком случае, $x$ - четное число, что противоречит начальному условию, т.к. в уравнении (1) не может быть два четных числа.

$$x^4=4(y^3+\frac {3y^2} 2 +y+C-D)\ren(3)$$

По тексту - C и D - числа.

[nnosipov]

ananova, только из уважения к количеству Ваших звёздочек я напишу мягко: бред.

[ananova]

Бред так бред... Благодарю, что быстро поставили диагноз!

[Lia]

ananova в сообщении #1008131 писал(а):

Допустим уравнение ВТФ является производной. Если мы проинтегрируем левую и правую часть (1), то результат должен остаться уравнением:

По какой переменной Вы его интегрируете? Можно не отвечать, осознайте.
(Не говоря уж о том, что это действие не имеет смысла в принципе для Ваших целей.)

[ananova]

Я доверяю Вашим знаниям, поэтому только объясню суть своих заблуждений.
Левую часть уравнения (1) интегрировал по $x$, правую - по $y$ - в предположении, что результаты интегрирования должны совпадать. Что оказалось моей безграмотностью в этом вопросе.

[Lia]

Ну вот если бы левая часть была умножена на $dx$, а правая - на $dy$, то операция имела бы какой-то смысл. Но это было бы совсем другое уравнение. Дифференциальное.

[nnosipov]

Я не знаю, как можно интегрировать целые числа, но дифференцировать их в некотором смысле можно: соответствующая конструкция носит название "частное Ферма".

[Lia]

nnosipov в сообщении #1008156 писал(а):

Я не знаю, как можно интегрировать целые числа

Конечно, никак нельзя.

Еще в ту же копилку. В порядке бреда. Пусть у нас есть уравнение $2x-1=0$. Первообразная у левой части (говорить, что уравнение является производной у меня даже в порядке бреда язык не повернется) $x^2-x+c$. Этот многочлен при некоторых $c$ имеет целые решения, при некоторых - не имеет, но его корни не имеют никакого отношения к единственному корню исходного. У которого целых решений нет.

[zt09]

В данном случае можно говорить не о производной, а о приращении функции. Производная - это предел приращения функции к приращению аргумента при $\Delta x\to 0. Но в случае теоремы Ферма речь идет о целочисленных решениях, поэтому приращение аргумента может быть любым целым числом.

zt09 в сообщении #933746 писал(а):

Разность значений функции - это по сути ее приращение для определенного приращения аргумента.Так что вышеприведенная табличка - по сути определение приращения степенной функции для приращения аргумента $\Delta x=1$.
Проблема в том, что приращение $2x+1$ для $x^2$ будет таковым только для случая $\Delta x=1$, и его вид будет другой при $\Delta x=2,3...$.
Приращение степенной функции в общем случае находится через бином Ньютона, и именно там появляется факториал.

Применительно к Теореме Ферма это интересно тем, что приращение функции можно принять равным $a^n=c^n-b^n$. Таким образом легко искать (проверять) решения, удовлетворяющие ТФ.

Например, для случая $\Delta x=1, n=2$, решения будут в виде a=\sqrt{2b+1}

Для случая $\Delta x=1, n=3$ приращение функции $y = x^n$ будет

$\Delta y=(x+\Delta x)^3 - x^3=3x^2+3x+1$, отсюда $a^3=3x^2+3x+1$ .

[nnosipov]

Конечные разности в теории чисел точно не бред. Например, Эйлер их приспособил для доказательства такого теоретико-числового утверждения: если простое $p \equiv 1 \pmod{4}$, то сравнение $x^2+1 \equiv 0 \pmod{p}$ разрешимо.