2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задачи по медиане и биссектрисе треугольника
Сообщение08.02.2008, 13:45 
1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.
2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию.
3. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36 градусов, а биссектриса угла при основании равна квадратному корню из 20. Найти длины сторон треугольника.
4. С помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные стороны.
Буду рада услышать ваши предложения по поводу решения этих задач))

 
 
 
 
Сообщение08.02.2008, 14:52 
Аватара пользователя
Клавдия писал(а):
Буду рада услышать ваши предложения по поводу решения этих задач))
Для начала, изложите здесь все, что Вы знаете о биссектрисе, а уж потом станет ясно, что Вам нужно посоветовать.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 01:27 
Аватара пользователя
1. Problem - you may use the formulae l_{a}^{2}=ab-mn where m and n are the segments for which intersection point of l_{a} and BC. m and n may be expressed using:
m:n = b:c
m+n=a.
Have you any questions?

P.S. Please read carefully your notebook before trying to solve such problems. I think they are middle-level problems - not difficult, but not easy. I wish you success.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 10:44 
Аватара пользователя
По сравнению с уровнем геометрических задач из вступительных экзаменов в МГУ, эти задачи, как раз, почти тривиальны.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 17:55 
Клавдия писал(а):
1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.

Риовать, рисовать, рисовать......
Сложим треугольник вдвое, как раз по биссектрисе, образуется лишний треугольничек с вершиной С. Стороны его : 6, 6, 9. он - равнобедренный. Найдем его высоту. потом из подобия тр-ков - высоту большого, потом теорему Пифагора дав -три раза применим.

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 20:24 
Аватара пользователя
Архипов писал(а):
Клавдия писал(а):
1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.

Риовать, рисовать, рисовать......
Сложим треугольник вдвое, как раз по биссектрисе, образуется лишний треугольничек с вершиной С. Стороны его : 6, 6, 9. он - равнобедренный. Найдем его высоту. потом из подобия тр-ков - высоту большого, потом теорему Пифагора дав -три раза применим.


По-моему, применить 2 раза теорему косинусов будет значительно проще (приняв, конечно, во внимание тот факт, что биссектриса делит пересекаемую ею сторону в том же отношении, в котором относятся друг к другу две другие стороны).

Я вот во второй задаче условие не понял.

Клавдия писал(а):
2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию.


Что ещё за "отрезок, прилежащий к вершине треугольника"? Отрезок чего? И к какой вершине: их у треугольника целых три?!

 
 
 
 
Сообщение09.02.2008, 23:14 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
Что ещё за "отрезок, прилежащий к вершине треугольника"? Отрезок чего? И к какой вершине: их у треугольника целых три?!
В школьной геометрии вершиной равнобедренного тр-ка называют ту из его вершин, в которой сходятся две равные стороны. Биссектриса равнобедренного тр-ка, проведённая к боковой стороне, делит эту сторону на два отрезка, и ровно один из этих отрезков оканчивается в вершине тр-ка.

 
 
 
 
Сообщение10.02.2008, 13:40 
Аватара пользователя
Вроде бы если в трегольнике $ABC$ стороны равны $AB = u$, $AC = v$ и $BC = w$, то длина биссектрисы, проведённой из угла $A$, равна

$$
\frac{\sqrt{uv((u+v)^2 - w^2)}}{u+v}
$$

Докажите эту формулу и задачи с её помощью решатся без проблем.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group