Объяснение вероятности финального матча.

[Shadow]

xolodec в сообщении #1007098 писал(а):

Если бы $p \ne q$, то вероятность нужно было бы считать как сумму вероятностей что первый наберет k очков и проиграет и что второй наберет k очков и проиграет:

$$C^k_{k+5}p^k\cdot q^5 + C^k_{k+5}p^5\cdot q^k $$

Но значит и в случае $p = q$ нужно также домножить ответ на два.

Без условия "и проиграет". После $5+k$ игр результат будет $5:k$ в пользу одного или другого.

xolodec в сообщении #1007463 писал(а):

На текущий момент обсуждения единственный камень преткновения - недопонимание того, что изначально мной предполагался правильный ответ в виде $C_{k+5}^k p^5 q^k$ и в этом ответе, на мой взгляд, не учитывается то, что проиграть может любой из двух.

Значит нужно еще и разделить на 2. Кстати, умножать и делить на 2 нужно при $k<5$
При $k=5$ не надо умножать и не надо делить.

[--mS--]

xolodec в сообщении #1007463 писал(а):

В задаче 2.55 из этого сборника ответ дан в следующем виде: $C^k_{5+k}\cdot 2^{-5-k}$. Что полностью совпадает с

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$

при подстановке

Цитата:

в свой ответ $p=q=1/2$

. Или это важно в данной задаче, чтобы нигде не писать $p,q$, а вместо них писать $1/2$? Почему?

Да нет, это Вы издеваетесь. Не в этот ответ подставлять нужно, а вот в этот:

xolodec в сообщении #1007371 писал(а):

Формально, если учитывать то, что выиграть может любой, то искомая вероятность должна выражаться вот так: $C^5_{k+5}p^5q^k +C^5_{k+5}q^5p^k $.

Вот только мне кажется, что Вы опечатались: степень должна быть не пятая, а шестая. Не "кажется, что шестая", а "кажется, что опечатались"!

И не надо утверждать, что

xolodec в сообщении #929596 писал(а):

А в ответе $C_{k+5}^k p^5 q^k$. То есть составители не учитывают, что последняя победа может не достаться победителю матча.

Составители как раз всё учитывают, и в ответе у них нет никаких $p$ и $q$. Это Вы решили, что $C^k_{5+k}\cdot 2^{-5-k}$ - это $C_{k+5}^k p^5 q^k$. А почему не $C_{k+5}^k p^{38+2k}/q^{33+k}$? Или не $C_8^1 C_{k+5}^k q^{k+2}$?

[xolodec]

--mS-- в сообщении #1007608 писал(а):

Не в этот ответ подставлять нужно, а вот в этот

Фух, теперь понятно, что конкретно я не понял и где ошибся! Спасибо Вам огромное!
Даже не думал над Вами издеваться ни в коем случае!
Итак, если я правильно все понял, то $C^5_{k+5}p^5q^k +C^5_{k+5}q^5p^k $ должно быть на самом деле $p\cdot C^5_{k+5}p^5q^k + q \cdot C^5_{k+5}q^5p^k $
И вот в этот момент все встало на свои места.

--mS--, спасибо Вам за ваше терпение еще раз!

Shadow, а не могли бы ли вы пояснить, что значит умножить и поделить на 2 в вашем посте:

Shadow в сообщении #1007474 писал(а):

Значит нужно еще и разделить на 2. Кстати, умножать и делить на 2 нужно при $k<5$
При $k=5$ не надо умножать и не надо делить.

Я не очень понимаю, что нужно умножить (разделить?) и почему этого не нужно делать, если $k=5$?
Я был бы Вам очень признателен за такое пояснение.

[Shadow]

Хорошо, я напишу, только потому что этот вопрос не дает Вам покоя пол года. Чтобы сбылось событие, необходимо, чтобы
1. после $5+k$ игр счет был $5:k$ (все игры считаем результативными)
2. В следуюей игре победил тот, у коротого 5 очков.

Вероятность, что результат после $5+k$ игр будет $5:k$ в пользу игрока A равна $C_{5+k}^k(\frac 1 2)^5(\frac 1 2)^k$

Если $k<5$, вероятность, что результат будет $5:k$ в пользу игрока B, также равна $C_{5+k}^k(\frac 1 2)^5(\frac 1 2)^k$

Или, $P_1=2\cdot C_{5+k}^k(\frac 1 2)^5(\frac 1 2)^k$

Включаем условие 2

$P_2=\frac 1 2,\quad P=P_1P_2$

Если $k=5, P_1=C_{5+k}^k(\frac 1 2)^5(\frac 1 2)^k,\;P_2=1$

[xolodec]

Shadow в сообщении #1007656 писал(а):

я напишу

Я полностью разобрался!
Большое Вам человеческое спасибо!

[--mS--]

Shadow в сообщении #1007656 писал(а):

Хорошо, я напишу, только потому что этот вопрос не дает Вам покоя пол года. Чтобы сбылось событие, необходимо, чтобы
1. после $5+k$ игр счет был $5:k$ (все игры считаем результативными)
2. В следуюей игре победил тот, у коротого 5 очков.

Непонятно, зачем создавать себе искусственные трудности. Вероятность, что в игре победил игрок A, и при этом у Б ровно $k\leq 5$ побед, есть $C_{5+k}^k p^6 q^k=C_{5+k}^k 2^{-6-k}$. Такая же вероятность для игрока Б есть $C_{5+k}^k q^6 p^k=C_{5+k}^k 2^{-6-k}$. Сумма - искомая вероятность.

[Shadow]

--mS-- в сообщении #1007668 писал(а):

Вероятность, что в игре победил игрок A, и при этом у Б ровно $k\leq 5$ побед, есть $C_{5+k}^k p^6 q^k$

Ну, это и есть $(C_{5+k}^k p^5 q^k)\cdot p$, разницу в обосновании не вижу. Хотя да, случай $k=5$ можно не рассматривать "отдельно".

[--mS--]

Как не видите? Я разбила событие в объединение двух $X=A\cup B$, Вы - в пересечение двух $X=C\cap D$, первое из которых Вы в одном случае разбиваете в объединение двух $C=C_1\cup C_2$, во втором - нет. А у второго условная вероятность при выполнении первого $\mathsf P(D | C)$ то половина, то единица.