Построение полной системы функций

[MZN]

Есть некая поверхность S, она параметризована:
$ S: \begin{cases} {x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)$} \end{cases} $
так, что $u\in[0,2\pi], v\in[-a,a]$. Кроме того, такая параметризация вводит
на S ортогональную систему координат. Надо построить полную на S систему функций.

Вопрос. Можно ли поступать следующим образом? На интервале изменения u вводим полную систему (я не понял, как здесь делаются индексы)
$\varphi(m;u)$, а на интервале изменения v - полную систему $\psi(n;v)$ и утверждаем, что $\Phi(m,n; u,v)=\varphi(m;u)\cdot\psi(n;v)$ полна на S.

Если это неверно, то как быть?

[Brukvalub]

Вы бы (для приличия) хоть пространство функций назвали, в котором вы полную систему строите.

[MZN]

Да, простите, действительно, неприлично. Пространство $L_1(S)$.

[svv]

MZN
Индексы — вот так: $\Phi_{mn}(u,v)=\varphi_m(u)\psi_n(v)$. Код любой формулы увидите, подведя к ней курсор мышки.

Правильно ли я понимаю, что должны выполняться условия $x(0, v)=x(2\pi, v)$ и аналогичные для $y, z$?

[MZN]

svv

С индексами я разобрался, спасибо. И, да, $x(0, v)=x(2\pi, v)$ и т.д.