Определитель блочной матрицы

[2old]

Пусть $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ Показать, что

$$ \begin{Vmatrix} A & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \det{(A+B)}\det{(A-B)} $$

Подскажите, пожалуйста, как действовать

[Brukvalub]

Делайте элементарные операции со строками и столбцами "большой" матрицы так, чтобы получить вместо матрицы $B$ в верхней правой части угол нулей.

[2old]

$$ \begin{Vmatrix} A & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A & A+B\\ B & B+A \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A-B & 0\\ B & A+B \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A+B & B\\ 0 & A-B \end{Vmatrix} = \det{(A+B)}\det{(A-B)} $$

Спасибо!

-- 23.04.2015, 12:28 --

Вообще как-то странно получается

$$ \begin{Vmatrix} A & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A & B\\ 0 & A \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} 0 & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \det{A^2}-\det{B^2}=(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B}) $$

Итого

$$(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B})=\det{(A-B})\det{(A+B)}$$

[Xaositect]

2old в сообщении #1007078 писал(а):

$$ \begin{Vmatrix} A & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A & B\\ 0 & A \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} 0 & B\\ B & A \end{Vmatrix} $$

Откуда это равенство?

[NSKuber]

2old в сообщении #1007078 писал(а):

Вообще как-то странно получается

$$ \begin{Vmatrix} A & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix} A & B\\ 0 & A \end{Vmatrix} + \begin{Vmatrix} 0 & B\\ B & A \end{Vmatrix} = \det{A^2}-\det{B^2}=(\det{A}-\det{B})(\det{A}+\det{B}) $$

Странно - потому что неверно. Определитель линеен по каждой отдельной строке/столбцу, а вы сразу по n столбцов разделили ($n$ - число столбцов матриц). Если $n=1$, то это верно, но неинтересно.

[2old]

Т.е. это просто такая удобная форма записи только? Я почему-то думал что это такое двухмерное векторное пространство, где элементы векторов это матрицы $M_n(\mathbb{R})$. Вроде все, что нужно для векторного пространства выполняется.

[NSKuber]

2old в сообщении #1007088 писал(а):

Вроде все, что нужно для векторного пространства выполняется.

А что такое определитель в произвольном векторном пространстве? Вы его где-нибудь за пределами пространства квадратных матриц часто встречаете?

[2old]

Определитель -- произвольная полилинейная кососимметрическая функция $D:M_n\to\mathbb{R}$, такая что $D(E)=1$.
Тут я видимо ошибся. Если взять как я думал $V=\operatorname{span}[(0,E_n);(E_n,0)]$ над $M_n$, то это не векторное пространство, т.к. умножение матриц не коммутативно. Т.е. блочные матрицы это всё-таки просто удобный способ записи....