Интеграл и вычеты

[Kink]

Изначальное задание: вычислить интеграл $\int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos nx}{1-2acos x+a^2} dx, -1<a<1$ (из задачника по ТФКП).

Типовой заменой $z=e^i^x$ получаем, что этот интеграл равен этому: $-\frac{1}{2i}\int\limits_{|z|=1}^{} \frac{z^2^n+1}{z^n(az^2-(1+a^2)z+a)} dz$

И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка, а $\infty$ — полюс $(n+2)$-го порядка. Не знаю, как тут можно вычеты посчитать.
Кроме того, есть ещё два простых полюса: $a$ и $\frac{1}{a}$, в них вычеты считаются легко.

[Otta]

Kink в сообщении #1007000 писал(а):

И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка,

Ну и ничего страшного, разложите в сумму простейших, где надо.

[Kink]

Otta в сообщении #1007044 писал(а):

Kink в сообщении #1007000 писал(а):

И здесь две сложности: ноль — полюс $n$-го порядка,

Ну и ничего страшного, разложите в сумму простейших, где надо.

Ничего такого хорошего, что можно легко продифференцировать n раз, не получается.

[Otta]

А как Вы раскладывали?

[Kink]

Otta в сообщении #1007192 писал(а):

А как Вы раскладывали?

Сперва на две дроби: $\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.
Также пробовал сразу делить полином на полином, но всё равно не то.

[Otta]

Ну правильно. Про вторую - про ее вычет в нуле - все сразу ясно, а с первой что? Что Вы делали дальше?

[ewert]

Kink в сообщении #1007208 писал(а):

$\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.

Что значит "их" -- вторую раскладывать вовсе не нужно. А в первой надо раскладывать не всю дробь, а только $\frac{1}{(z-a)(z-1/a)}$.

А потом, кстати, надёжнее не дифференцировать, а просто разложить в геометрические прогрессии.

[Kink]

Otta в сообщении #1007209 писал(а):

Ну правильно. Про вторую - про ее вычет в нуле - все сразу ясно, а с первой что? Что Вы делали дальше?

ewert в сообщении #1007224 писал(а):

Kink в сообщении #1007208 писал(а):

$\frac{1}{az^n(z-a)(z-1/a)}$ и $\frac{z^n}{a(z-a)(z-1/a)}$, их разложения довольно непростые получаются.

Что значит "их" -- вторую раскладывать вовсе не нужно. А в первой надо раскладывать не всю дробь, а только $\frac{1}{(z-a)(z-1/a)}$.

А потом, кстати, надёжнее не дифференцировать, а просто разложить в геометрические прогрессии.

Спасибо, получилось