Оптимальный режим полета космического корабля.

[Pulseofmalstrem]

Условия задачи.
Есть космический корабль с хорошей двигательной установкой, и ему необходимо совершить перелет до другой звездной системы расстояние до которой равно $2L$, причем нельзя допустить того, чтобы ускорение корабля превысило бы по модулю величину $a_0$, иначе все живое на борту умрет. Необходимо найти такое уравнение движение по которому на перелет уйдет минимум времени. Начальная скорость равна нулю.

Честно, я совершенно не знаю как строго решать эту задачу. Однако попробую записать все данные сведения про нашу функцию на математическом языке, и заодно предложу свой интуитивный вариант.

1. Что нам известно:
Начальная скорость, и координата равны нулю.
$\left\{ \begin{array}{rcl} & f(0) = 0& \\ & f'(0)= 0& \\ \end{array} \right.$

2. Максимальное значение ускорения равно $a_0$, из симметрии задачи ясно, что оно достигается на полпути.
$f''(L) = a_0$
Ну и то, что в конце тело благополучно долетело до цели:
$f(t_{finish}) = 2L$

Что с этим делать я имею слабое представление, однако меня гложет смутная догадка, что скорее всего оптимальным способом будет движение по экспоненте симметрично подменяющей себя на пол пути с разгона на тормоз. Исходя из такого предположение функция задается довольно легко:

$x = e^kt$
$L = e^kt_0$
$t_0 = \frac{\ln(L)}{k}$
$\ddot{x} = k^2e^kt$
$ a_0 = k^2e^k\frac{\ln(L)}{k}$
$a_0 = k^2e^\frac{\ln(L^k)}{k}$
$a_0 = k^2 L$
$k = \sqrt{\frac{a_0}{L}}$

И наконец наша функция на первом куске пути ( на втором симметричная ей, но на торможение с максимальным ускорением в конце пути):
$ x = e^\sqrt{\frac{a_0}{L}}t$

Однако это чистая догадка.

[Munin]

А теперь с учётом СТО. Оказывается, это рано вам ещё.

Надо включить максимальное ускорение с самого начала, и так ехать полпути, ускоряясь. Потом начать тормозить с тем же по величине ускорением.

[Pphantom]

Pulseofmalstrem в сообщении #1006950 писал(а):

Что с этим делать я имею слабое представление, однако меня гложет смутная догадка, что скорее всего оптимальным способом будет движение по экспоненте симметрично подменяющей себя на пол пути с разгона на тормоз.

Странный вывод. Во-первых, откуда взялась экспонента? Во-вторых, откуда следует, что при подлете к цели кораблю нужно иметь стремящуюся к нулю скорость?

Ответ для предложенной Вами постановки задачи совершенно очевиден - надо постоянно разгоняться с максимально возможным ускорением. Но, по-видимому, Вы на самом деле пытаетесь решить другую задачу, условие которой не сформулировали.

[Aritaborian]

Очевидно же. Да и вообще задача известная, если я ни с какой другой её не путаю.

[Pulseofmalstrem]

Munin
Просто когда мне говорили про эту задачу - ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома. Возможно, условия сформулированы не корректно мною.

[Dmitriy40]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007003 писал(а):

ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома

Как Вы совершенно правильно мне сказали в ЛС, это легко устраняется достаточно малым переходным процессом в точке перелома (конечно если весь путь достаточно длинный и/или ускорение сравнительно с ним мало). Можно воспользоваться например опытом железнодорожников по исключению ударных нагрузок при сопряжении прямого участка и поворота заданного радиуса (используют участок кривой третьего порядка, все нужные параметры остаются гладкими).

[Anton_Peplov]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007003 писал(а):

Просто когда мне говорили про эту задачу - ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома.

Ну в природе (в неквантовой, по крайней мере; в кванты лезть не буду, не знаю) не бывает так, чтобы что-то изменилось скачком до нуля. Когда Вы выключаете зажигание, у Вас ведь тоже двигатель останавливается не мгновенно. Так что в малой окрестности середины пути функция $a_x = a_x(x)$ (зависимость проекции ускорения на ось от координаты) все равно будет скруглена напильником.

Aritaborian в сообщении #1006999 писал(а):

Очевидно же.

почтальон Печкин писал(а):

Разрешите поинтересоваться в целях повышения образованности

какой матаппарат решает подобные задачи, когда решение не очевидно. Вариационное исчисление?

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1006987 писал(а):

Надо включить максимальное ускорение с самого начала, и так ехать полпути, ускоряясь. Потом начать тормозить с тем же по величине ускорением.

Так, помнится, "Хиус" двигался к Венере.

[Munin]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007003 писал(а):

Просто когда мне говорили про эту задачу - ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома. Возможно, условия сформулированы не корректно мною.

Простите, из-за негладкости какого порядка? Стандартная гладкость (первого порядка) там есть.

Если не нравится негладкость второго порядка - всегда можно начать снижать ускорение за небольшое время до "точки перелома", подойти к этой точке с нулевым ускорением, пройти её с гладкостью всех возможных порядков, и после неё симметрично развить ускорение в обратную сторону. Функции наподобие $e^{-1/x^2}$ вам в помощь.

Такое впечатление, что тот, кто задаёт вам задачу, сам плохо понимает, чего он хочет.

[Sphinx Pinastri]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007003 писал(а):

ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома.

Кто-то из космонавтов описал, что они чувствуют, когда ступень ракеты выгорает и отбрасывается. Так вот, в этот момент всё проваливается в тартарары.

[Theoristos]

Pulseofmalstrem в сообщении #1007003 писал(а):

Munin
Просто когда мне говорили про эту задачу - ответ с постоянным ускорением сразу завернули из-за негладкости в точке перелома. Возможно, условия сформулированы не корректно мною.

Тогда давайте подробности - кто завернул, и какого уровня эта задача. Ибо диапазон от детсадовского вопроса до реального моделирования движения ракеты с учетом манёвра разворота и глубины дефорсирования двигателя. Возможно и что над вами просто издеваются.
Математически рассмотренный вариант вполне верен.

[Утундрий]

Anton_Peplov в сообщении #1007014 писал(а):

какой матаппарат решает подобные задачи, когда решение не очевидно. Вариационное исчисление?

Оптимальное управление, точнее. Только там скачки и разрывы как раз дело обыденное.

[Oleg Zubelevich]

принцип максимума Понтрягина