Задачи по медиане и биссектрисе треугольника

[Клавдия]

1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.
2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию.
3. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36 градусов, а биссектриса угла при основании равна квадратному корню из 20. Найти длины сторон треугольника.
4. С помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные стороны.
Буду рада услышать ваши предложения по поводу решения этих задач))

[Brukvalub]

Клавдия писал(а):

Буду рада услышать ваши предложения по поводу решения этих задач))

Для начала, изложите здесь все, что Вы знаете о биссектрисе, а уж потом станет ясно, что Вам нужно посоветовать.

[ins-]

1. Problem - you may use the formulae l_{a}^{2}=ab-mn where m and n are the segments for which intersection point of l_{a} and BC. m and n may be expressed using:
m:n = b:c
m+n=a.
Have you any questions?

P.S. Please read carefully your notebook before trying to solve such problems. I think they are middle-level problems - not difficult, but not easy. I wish you success.

[Brukvalub]

По сравнению с уровнем геометрических задач из вступительных экзаменов в МГУ, эти задачи, как раз, почти тривиальны.

[Архипов]

Клавдия писал(а):

1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.

Риовать, рисовать, рисовать......
Сложим треугольник вдвое, как раз по биссектрисе, образуется лишний треугольничек с вершиной С. Стороны его : 6, 6, 9. он - равнобедренный. Найдем его высоту. потом из подобия тр-ков - высоту большого, потом теорему Пифагора дав -три раза применим.

[Профессор Снэйп]

Архипов писал(а):

Клавдия писал(а):

1. Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ=12, АС=15, ВС=18.

Риовать, рисовать, рисовать......
Сложим треугольник вдвое, как раз по биссектрисе, образуется лишний треугольничек с вершиной С. Стороны его : 6, 6, 9. он - равнобедренный. Найдем его высоту. потом из подобия тр-ков - высоту большого, потом теорему Пифагора дав -три раза применим.

По-моему, применить 2 раза теорему косинусов будет значительно проще (приняв, конечно, во внимание тот факт, что биссектриса делит пересекаемую ею сторону в том же отношении, в котором относятся друг к другу две другие стороны).

Я вот во второй задаче условие не понял.

Клавдия писал(а):

2. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию.

Что ещё за "отрезок, прилежащий к вершине треугольника"? Отрезок чего? И к какой вершине: их у треугольника целых три?!

[Brukvalub]

Профессор Снэйп писал(а):

Что ещё за "отрезок, прилежащий к вершине треугольника"? Отрезок чего? И к какой вершине: их у треугольника целых три?!

В школьной геометрии вершиной равнобедренного тр-ка называют ту из его вершин, в которой сходятся две равные стороны. Биссектриса равнобедренного тр-ка, проведённая к боковой стороне, делит эту сторону на два отрезка, и ровно один из этих отрезков оканчивается в вершине тр-ка.

[Профессор Снэйп]

Вроде бы если в трегольнике $ABC$ стороны равны $AB = u$, $AC = v$ и $BC = w$, то длина биссектрисы, проведённой из угла $A$, равна

$$ \frac{\sqrt{uv((u+v)^2 - w^2)}}{u+v} $$

Докажите эту формулу и задачи с её помощью решатся без проблем.