Непрерывность функций.

[Monster]

Можно ли утверждать , что если образ любого открытого множество открыт, то функция непрерывна во всех точках?
Лично мне кажется, что это правда. Получается как бы совокупность пересекающихся открытых образов, которые дают непрерывность, но это только интуитивные догадки. Я не знаю, как доказать это формально.

[Xaositect]

Нет, но контрпримеры нетривиальные, например вот тут приводится контрпример: http://mathforum.org/library/drmath/view/62395.html

[Nemiroff]

Неконструктивный пример
http://math.stackexchange.com/questions ... continuous

[Monster]

Xaositect в сообщении #1006812 писал(а):

Нет, но контрпримеры нетривиальные, например вот тут приводится контрпример: http://mathforum.org/library/drmath/view/62395.html

Вы не могли бы пояснить на русском этот пример? Довольно сложно разобраться.

[Xaositect]

Возьмем действительное число $x$. Если в его десятичной записи бесконечно много девяток, то $f(x) = 0.5$. Иначе найдем последнюю девятку и рассмотрим все цифры после нее как знаки после запятой девятичной записи некоторого числа из $(0,1)$. Это число и будет $f(x)$. Легко видеть, что образом любого интервала, а значит и любого открытого множества, будет интервал $(0,1)$, потому что в интервале всегда найдется интервал вида $(\overline{a_0.a_1a_2\dots a_k9} , \overline{a_0.a_1a_2\dots(a_k + 1)})$

[AGu]

Если не ограничиваться функциями, действующими в $\mathbb R^n$, то есть очень простые контрпримеры. Например, пусть $S=\{0,1\}$ (или вообще любое множество, содержащее не менее двух элементов), $X$ — множество $S$, снабженное топологией $\bigl\{\varnothing,\{0,1\}\bigr\}$ (в общем случае — антидискретной топологией), $Y$ — множество $S$, снабженное топологией $\bigl\{\varnothing,\{0\},\{1\},\{0,1\}\bigr\}$ (в общем случае — дискретной топологией) и пусть $f\colon X\to Y$ — тождественное отображение. Тогда $f$ переводит открытые множества в открытые (и, кроме того, замкнутые в замкнутые) и разрывно в каждой точке.