Уравнение Пуассона, я так понимаю, это уравнение Лапласа с правой частью? Для ограниченной области

с достаточно гладкой границей теорем полно. Например, в пространствах Гельдера. См. книгу Гилбарг, Трудингер "Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка". Есть теоремы и для не очень гладких областей, в частности, для многогранников. С другой стороны, есть теория решений в пространствах Соболева. Если решение приналежит

с достаточно большим

, а граница области опять же достаточно регулярна, то из теорем вложения будет вытекать, что решение классическое. При каких условиях это верно, можно извлечь из той же книжки.