Проверка нормальности расширения (теория Галуа)

[Hasek]

Расширение $F$ над полем $K$ называется нормальным, если $F$ содержит поле разложения минимального многочлена любого своего элемента. Но проверять, распадается ли минимальный многочлен каждого элемента на линейные множители в случае произвольного поля совершенно невозможно, в связи с чем должны существовать более удобные способы установления нормальности расширения. У меня есть догадка, что достаточно проверить только для элементов, порождающих расширение. Это правда? И если да, то подскажите, пожалуйста, почему это так?

[AV_77]

Hasek в сообщении #1006172 писал(а):

Это правда?

Да. Поле, получающееся присоединением всех корней какого-либо многочлена нормально.

[Hasek]

AV_77 в сообщении #1006559 писал(а):

Hasek в сообщении #1006172 писал(а):

Это правда?

Да. Поле, получающееся присоединением всех корней какого-либо многочлена нормально.

Кажется понял. Пусть для определённости $F[x,y]$ получается присоединением к $K$ двух корней некоторого неприводимого над $K$ многочлена. Образующие в таком случае: $1, x, y$. Минимальный многочлен, имеющий корнем единицу, в поле, конечно, есть, и он линеен. Для $x$ минимальным многочленом будет тот, корни которого мы присоединили, но поскольку присоединили мы все корни, то он распадается на линейные множители. То же и для $y$. Так?