(Не)зависимые события на диаграмме Венна

[Лукомор]

Не могу представить себе, как выглядят на диаграмме Венна зависимые и независимые события.
Чисто визуально, "на глаз". Совместные и несовместные - это понятно, если есть общая область, значит совместные, нет общей области - несовместные. Условная вероятность - тоже понятно, какую часть занимает общая область от одной из...
А вот с зависимыми и независимыми, не понятно...

[Brukvalub]

Встречный вопрос: как выглядит на диаграмме Венна вероятностная мера?

[_hum_]

объясняю. теория вероятностей строится на базе трех понятий:
1) множество $\Omega$ элементарных исходов
2) множество подмножеств этого множества - так называемая алгебра событий $\mathcal{A}$(потому как каждое событие можно отождествить с каким-то множеством)
3) "функция вероятности" (вероятностная мера) - функция, которой на вход дают множество из $\mathcal{A}$ (событие),а на выходе она выплевывает значение от 0 до 1 (вероятность события)

так вот понятие совместности событий не зависит от того, какая выбрана "функция вероятности", потому ее легко можно выразить в терминологии понятий 1), 2) (а тут могут помочь диаграммы венна)

а вот зависимость/независимость уже напрямую определяются тем, какую выбрали вероятностную меру (одни и те же события при одной функции могут быть зависимы, при другой нет), потому в обычных диаграммах венна не выражаются

[gris]

Куча задач по ТВ, где на диаграммах стоят/надо поставить вероятности, соответствующие областям. На таких диаграммах независимость устанавливается по определению. На обычных можно только определить зависимость, если области не пересекаются.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1006452 писал(а):

Куча задач по ТВ, где на диаграммах стоят/надо поставить вероятности, соответствующие областям. ..

На каких каналах по ТВ показывают такие задачи? Наверное, это платные кабельные каналы ТВ?

[gris]

Вот только вчера увидел:

На Расширенных Диаграммах Венна (sic!) показаны вероятности некоторых событий. Известно, что зелёное и красное, а также зелёное и синее события независимы. Являются ли независимыми синее и красное событие?
Как раз по теме уважаемого ТС, да не воспримет он эту невинную картинку за оффтоп.

[_hum_]

gris

(Оффтоп)

имхо, это просто, чтобы лишний раз за цифрами в тетрадь не лазить. больше никакой пользы от такого представления я не вижу. наверное даже вреда больше, ибо создает неправильное интуитивное представление о вероятности как о принадлежности множеству.

[Лукомор]

Brukvalub в сообщении #1006427 писал(а):

Встречный вопрос: как выглядит на диаграмме Венна вероятностная мера?

Мне кажется, по аналогии с геометрическим определением вероятности можно предположить, что это площадь фигуры на диаграмме.
Выбирается какая-либо фигура, которой придается смысл достоверного события, и ее площади ставится в соответствие единичная вероятность.
Внутри рисуем фигуры меньшей площади, их площади, отнесенные к площади фигуры, изображающей достоверное событие, можно считать вероятностями соответствующих событий.
Конечно, все это достаточно условно...

-- Вт апр 21, 2015 18:16:31 --

_hum_ в сообщении #1006441 писал(а):

потому в обычных диаграммах венна не выражаются

(Оффтоп)

Вот чувствовал я тут какой-то подвох!

-- Вт апр 21, 2015 18:19:34 --

gris в сообщении #1006452 писал(а):

На обычных можно только определить зависимость, если области не пересекаются.

Если не пересекаются, то я и без всяких диаграмм скажу, что они несовместные и зависимые...

[Brukvalub]

Тогда так: берем квадрат со стороной 1, внутри рисуем два прямоугольника со сторонами1 X 0,5, перекрывающиеся наполовину - вот и получилась модель независимых событий. Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события.

[Лукомор]

gris в сообщении #1006480 писал(а):

На Расширенных Диаграммах Венна (sic!) показаны вероятности некоторых событий. Известно, что зелёное и красное, а также зелёное и синее события независимы

Во-от... в этом, как раз и заключался мой вопрос...
Как, разглядывая эту диаграмму, понять, что $P(G|R)=P(G)$ , где $P(G)$ - вероятность зеленого события, и $P(R)$ вероятность красного события, по виду рисунка, не глядя на подставленные числа ?
И, чтобы два раза не постить: чем внешне отличается диаграмма трех совместно независимых событий от диаграммы трех совместно зависимых событий, каждые два из которых попарно независимы?

-- Вт апр 21, 2015 18:49:08 --

Brukvalub в сообщении #1006502 писал(а):

Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события.

Не всегда...
Если мы проведем внутри квадрата прямую параллельно боковой стороне квадрата на расстоянии $a$ и параллельно основанию на расстоянии $b$, то, ИМХО, при любых $a<1$ и $b<1$ события
$\left\lbrace X: (x<a)\right\rbrace$ и
$\left\lbrace Y: (y<b)\right\rbrace$ будут независимы.

[gris]

Диаграмма это схема. Вряд ли кто будет рисовать её точно. Ну если в виде прямоугольников, то можно с некоторой точностью, но зачем?
Вот так и две Ваши диаграммы внешне отличаться не будут. Могут быть незначительные отклонения в площадях пересечений. И всё будет зависеть от точности построений и измерений.
Ну при желании можно всё точно изобразить. Возьмём пресловутый квадрат размером $10\times 10$. Договоримся строить фигуры только из целых клеточек. Можно играть. Все вероятности будут в целых процентах.

[Brukvalub]

Лукомор в сообщении #1006505 писал(а):

....

Brukvalub в сообщении #1006502 писал(а):

Если же прямоугольники перекрываются по бОльшей или мЕньшей площади, то привидятся зависимые события.

Не всегда...
Если мы проведем внутри квадрата прямую параллельно боковой стороне квадрата на расстоянии $a$ и параллельно основанию на расстоянии $b$, то, ИМХО, при любых $a<1$ и $b<1$ события
$\left\lbrace X: (x<a)\right\rbrace$ и
$\left\lbrace Y: (y<b)\right\rbrace$ будут независимы.

Я вел речь о "своих" прямоугольниках.

[Лукомор]

gris в сообщении #1006521 писал(а):

Вот так и две Ваши диаграммы внешне отличаться не будут.

Дело не только в диаграммах, хотя и в них тоже.
Хотелось бы понять:
1. как это так ловко получается в этом вероятностном мире, что из $P(G|R)=P(G)$ непременно следует $P(R|G)=P(R)$?
2. и, соответственно, если, например, события зависимые, и $P(G|R)<P(G)$, следует ли из этого, что и $P(R|G)<P(R)$ тоже, или, в этом случае будет наоборот $P(R|G)>P(R)$?
3. и, наконец, есть ли в теории вероятностей аналог неравенства Коши-Буняковского в виде, для данного примера, $P(R)\cdot P(G)\geqslant P(R|G)\cdot P(G|R)$.
Не так уж много, на самом деле, я хочу.

-- Вт апр 21, 2015 19:19:48 --

Brukvalub в сообщении #1006527 писал(а):

Я вел речь о "своих" прямоугольниках.

Да, извиняюсь, не на то возразил...
Я имел в виду, что если взять прямоугольники, один единичной высоты, а другой единичной ширины, то они всегда дадут независимые события.
А если у каждого и длина и ширина произвольны, то, тогда конечно, будут зависимы "почти наверняка"...

-- Вт апр 21, 2015 19:31:03 --

gris в сообщении #1006521 писал(а):

Возьмём пресловутый квадрат размером $10\times 10$.

В принципе, для простых примеров такая точность будет излишня.
Для двух монет достаточно квадрата $2\times 2$, а для трех монет - куба, размером $2\times 2\times 2$

-- Вт апр 21, 2015 19:34:22 --

gris в сообщении #1006521 писал(а):

Диаграмма это схема. Вряд ли кто будет рисовать её точно.

(Оффтоп)

А если линейкой по рукам?!
Точность должна возрасти на порядок...

[ewert]

Лукомор в сообщении #1006528 писал(а):

1. как это так ловко получается в этом вероятностном мире, что из $P(G|R)=P(G)$ непременно следует $P(R|G)=P(R)$?

Это получается из формального определения левых частей этих равенств. Только Вы никому этого не открывайте. Это -- тайное знание, доступное лишь посвящённым не менее чем шестой ступени.

[Лукомор]

ewert в сообщении #1006547 писал(а):

Это -- тайное знание, доступное лишь посвящённым не менее чем шестой ступени.

(Оффтоп)

Ну, что поделать, нет у меня черного пояса по теории вероятностей, но я упорно тренируюсь! :-)

-- Ср апр 22, 2015 08:01:40 --

ewert в сообщении #1006547 писал(а):

Это получается из формального определения левых частей этих равенств.

С формальным определением все в порядке, но глядя на диаграмму Венна, так сразу и не скажешь, что отношение площади, соответствующей вероятности $P(A\cap B)$ к площади $P(B)$ равно отношению площади $P(A)$ к площади $P(\Omega)$ и, если уж такое совпадение случилось, при этом обязательно отношение этой же площади $P(A\cap B)$ к площади $P(A)$ будет равно отношению площади $P(B)$ к площади $P(\Omega)$