Вычислить длину дуги кривой

[mayer]

$y=2\cdot x^2-\frac{\ln(x)}{16}$
$1\leqslant x \leqslant2$
Рассчитывал я по этой формуле:
$l=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(df(x))^2}dx$
$df(x)=4\cdot x-\frac{1}{16\cdot x}$
$(df(x))^2=16\cdot x^2-1/2+\frac{1}{256\cdot x^2}$
Получается какой-то громоздкий интеграл.
Правильно ли я решаю? Куда двигаться?

[svv]

mayer в сообщении #1005905 писал(а):

$y=2\cdot x^2\frac{\ln(x)}{16}$

Точно переписали задание? Странно, что авторы не сократили на двойку.

mayer в сообщении #1005905 писал(а):

$l=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(df(x))^2}dx$

Единица плюс дифференциал в квадрате? А как в учебнике?

mayer в сообщении #1005905 писал(а):

$df(x)=4\cdot x-\frac{1}{16\cdot x}$

А как же формула производной произведения?

[mayer]

Исправил. Там минус стоит.
Формулу проверил-вроде все верно. для такой функции такая формула предусмотрена

[svv]

А не производная?

[mayer]

а как мне написать производную?

[Ms-dos4]

mayer
Имеется ввиду, что формула имеет вид $\[l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{[f'(x)]}^2}} } dx\]$

[alcoholist]

mayer в сообщении #1005905 писал(а):

Получается какой-то громоздкий интеграл

там полный квадрат под корнем

[mayer]

Ms-dos4 в сообщении #1005925 писал(а):

mayer
Имеется ввиду, что формула имеет вид $\[l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{[f'(x)]}^2}} } dx\]$

да, она самая.

-- 20.04.2015, 16:59 --

alcoholist в сообщении #1005927 писал(а):

mayer в сообщении #1005905 писал(а):

Получается какой-то громоздкий интеграл

там полный квадрат под корнем

Не понимаю

[Ms-dos4]

mayer
1)Вот именно, зачем же вы туда дифференциал то вместо производной писали?
2)$\[\sqrt {1 + {{(4x - \frac{1}{{16x}})}^2}} = 4x + \frac{1}{{16x}}\]$

[mayer]

Ms-dos4 в сообщении #1005937 писал(а):

mayer
2)$\[\sqrt {1 + {{(4x - \frac{1}{{16x}})}^2}} = 4x + \frac{1}{{16x}}\]$

как так получается?

[svv]

Пусть $a=4x,\; b=\frac{1}{16 x}$
Составители подобрали всё так, чтобы было $2ab=\frac 1 2$. И получается:
$1+(a-b)^2=1+(a^2-\frac 1 2+b^2)=a^2+\frac 1 2+b^2=(a+b)^2$

[mayer]

неужели так все просто!) спасибо!

[svv]

Или так. Есть простое тождество $(a-b)^2+4ab=(a+b)^2$
В нашем случае $4ab=1$.