Суммы взаимно простых

[lopkityu]

Найдется ли такое натуральное $ n$, что существует бесконечно много натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы $ n $ попарно взаимно простых чисел, каждое из которых больше 1?

[Руст]

Пусть надо представить число $m$ в виде суммы $n$ взаимно простых чисел.
В качестве взаимно простых можно взять простые или степени простых в количестве $n-1$. Последнее число, что останется.
Вычитаем простое число $p$ от $m/2$ до $m-n$. Ясно, что другие слагаемые будут взаимно простыми с $p$. Далее вычитаем еще простое и т.д.
Если $m$ достаточно большое $m>2^{3n}$ то не придется брать 1.

[ИСН]

Руст в сообщении #1005522 писал(а):

вычитаем еще простое и т.д.

Где-то здесь хотелось бы гарантий, что мы сможем продолжать процесс на всех шагах, особенно на последнем, и что сойдёмся ровно за $n$.

-- менее минуты назад --

А, не надо, всё понял: после $n-1$ шагов остаётся остаточек, неизвестно, простой ли, но уж точно взаимно простой с нашими простыми, тупо потому, что они все его больше. Ну да, выходит, всё.

[lopkityu]

ИСН в сообщении #1005535 писал(а):

А, не надо, всё понял: после $n-1$ шагов остаётся остаточек, неизвестно, простой ли, но уж точно взаимно простой с нашими простыми, тупо потому, что они все его больше. Ну да, выходит, всё.

Пожалуйста, объясните мне, ибо я совершенно не понял что и от чего отнимается.

Все, уже не надо, до меня дошло. Действительно легко, а я полез в дебри. Ну хоть не безуспешно

[lopkityu]

В качестве исправления, вот вам задача в продолжение темы (надеюсь, она не столь же "полтычковая").

Пусть $ n>5 $ - фиксированное. Назовем пару $ (x, y) $ хорошей, если в какие-то их разложения в сумму $ n $ попарно взаимно простых чисел, каждое из которых больше 1, входят хотя бы по $ n-5 $ одинаковых слагаемых. Докажите или опровергните существование константы $ C $ такой, что для любых $ m_1, m_2\geq C $ пара $ (m_1, m_2) $ - хорошая.

[grizzly]

Руст в сообщении #1005522 писал(а):

Вычитаем простое число $p$ от $m/2$ до $m-n$.

Нужно брать не любое в промежутке, а, например, ближайшее к $m/2$. Иначе, можно бесконечно часто попадать в такую ситуацию: $m=15, n=3$; на первом шаге $p=11$, $(15/2<11<15-3)$, и дальше тупик.

lopkityu
Здесь принято новую задачу в новой теме обсуждать. А то бывает неудобно вести параллельное обсуждение разных задач в одной теме.

[lopkityu]

grizzly
Прошу прощения, буду знать.