ТФКП, несобственный интеграл с помощью вычетов

[brat2]

Извиняюсь если глупый вопрос,
равняется ли действительная часть от интеграла ФКП интегралу от действительной части этой функции?

мне кажется что нет, но не могу придумать контрпример

просто встретил такую запись:

$$\int\limits_{- \infty}^{\infty}\frac{cos(x)}{x^2+2x +2}dx=Re(\lim\limits_{R \to \infty} (\oint \frac{e^{iz}}{z^2+2z+2}dz - \int \frac{e^{iz}}{z^2+2z+2}dz))}$$

(первый интеграл по замкнутому контуру от $-R$ до $R$, второй по обратной дуге от $R$ до $-R$)

понимаю, что $Re(e^{iz})=cos(z)$, но почему $Re$ выносится за знак интеграла и предела?

[ex-math]

Вообще говоря нет, так как $dz$ тоже имеет вещественную и мнимую часть. Но в Вашем случае интегрирование идет по отрезку вещественной оси, где $dz=dx$, т.е. вещественно.

[brat2]

простите, не совсем понял ответ - ведь в правой части два интеграла, которые по отдельности берутся не только по вещественной оси.. или мы говорим, что поскольку они в сумме дают интегрирование только по вещественной оси, можно выносить $Re$ за знак интеграла?

[ex-math]

Именно так. В скобках стоит интеграл по вещественной оси. Потом, разумеется, скобки можно раскрыть, так как вещественная часть суммы равна сумме вещественных частей.

Это все обычно разбирают, определяя интеграл по комплексному переменному. Встречали же такое

$$ \int_{C}fdz=\int_{C}udx-vdy+i\int_{C}vdx+udy $$

наверняка. Отсюда видно, что далеко не всегда можно менять местами интегрирование и взятие вещественной части.