Про выбор границы при доказательстве непрерывности

[outmind]

Мучает одна, возможно простая вещь. Сам не вижу.
Из Ивашева-Мусатова "Начала мат. анализа".
При доказательстве непрерывности функции $f(x)=\frac 1 x$ в точке $a$ получается простое неравенство:
$\frac{\delta}{|x|\cdot |a|} < \varepsilon$
Все хорошо. Но потом "Прежде всего, ограничимся числами $\delta$, удовлетворяющими неравенству $0<\delta \le \frac{1}{2}|a|$."
Как я понимаю граница может быть и другой, не только $\frac{1}{2}|a|$.
Помогите, пожалуйста. Какие можно было брать границы (мне кажется, что можно было почти любую - хоть просто число, хоть любую линейную/нелинейную функцию от $a$) и почему выбрали такую?

[Lia]

Формулы все оформите, пожалуйста. И при доказательстве непрерывности функции (не гиперболы, это график функции) по определению принято указывать, в какой точке доказывается непрерывность.

[demolishka]

Границу выбирают такую, чтобы дальнейшие рассуждения были верны. Прежде всего надо оценить знаменатель снизу, поэтому $x$ не должен подбегать к нулю сколь угодно близко. Приведенный интервал для $\delta$ вполне подходит для такой оценки.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
См. выше.

Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[outmind]

demolishka в сообщении #1005144 писал(а):

Границу выбирают такую, чтобы дальнейшие рассуждения были верны. Прежде всего надо оценить знаменатель снизу, поэтому $x$ не должен подбегать к нулю сколь угодно близко. Приведенный интервал для $\delta$ вполне подходит для такой оценки.

"выбирают такую, чтобы дальнейшие рассуждения были верны" - это конечно помогает : )

Правильно ли я понял, что $\frac 1 2 |a|$ взяли, чтобы в $\delta$-окрестности не было сингулярностей (т.е. чтобы $x$ не добегал до $0$)?

[Brukvalub]

Вы бы не куски из доказательства сюда вырывали, а полное доказательство написали. Иначе ответ будет такой: "мотивы такого выбора границы обоснованы 2-мя строчками ниже того, что вы написали".