система нескольких зарядов со связями

[eugrita]

Рассматривается система нескольких одноименных положительных , одинаковых точечных зарядов. На перемещение которых наложены в терминах механики освобождающие связи, т.е они не могут выйти за пределы некоторого объема или плоской области. *квадрат или круг - рис.ниже). Это -типичная картина в электростатике. Однако здесь считаем число точечных зарядов небольшим, скажем до 10. Они займут положение с минимумом потенциальной энергии
$\min W=\sum {\frac{1}{d_{ij}}}$.
Интересуют конкретные формы такого равновесия для случая прямоугольной и круговой областей.

А также, рассматривалась ли подобная постановка и где в физике? Может в МКТ может в кристаллографии , может в химии?
В математике есть родственный тип задач - в квадрат брошено $n$ точек. Найти наибольшее возможное значение минимального расстояния пары точек.И мне известны решения для квадрата как минимум, для количеств точек $2 \leqslant n \leqslant 10$
Однако ясно, что такая постановка не имеет перспектив в физике видимо.

Видимо с т.зр. математики поставленная задача - нахождение локальных минимумов потенциальной энергии.
Рассматривались ли и какие могут быть приемы решения?

[Munin]

Просто ищете минимум потенциальной энергии $\sum U(\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2)$ в конфигурационном $3N$-мерном (или у вас в плоской области - в $2N$-мерном) пространстве. Совершенно банальными методами матанализа.

[eugrita]

Вопрос как раз в математике и в решениях. Методы то понятны - система уравнений
частных производных функции Лагранжа, учитывающей связи. Или геометрические приемы.
Только это не совсем просто. Приведенную выше родственную задачу гораздо легче решать геометрически чем так
Известны ли решения? исследовались и как-то отражены в физике или физ-химии?

[мат-ламер]

eugrita в сообщении #1005135 писал(а):

Рассматривались ли и какие могут быть приемы решения?

Конкретно такими задачами не интересовался. Кое-что по этой теме на форуме было, и вы наверное в курсе. Но было скорее всего не совсем то. (Иголку где-то рядом рассматривали, например). Что касается методов решения, то они делятся на аналитические и численные. Кроме того, кое-что подсказывает интуиция относительно первой задачи. А подсказывает она, что заряды должны будут распределиться на окружности равномерно. Что касается аналитических методов. Для начала скажу, что минимизируемая функция не выпукла и с поиском минимума сложности есть. Аналитические методы можно разделить на две ветки. 1) Допустим точка минимума нам предположительно известна. Используя условие минимума можно доказать, что она действительно является минимумом (локально). Насчёт глобальности сказать нечего. 2) Используя какое-нибудь неравенство можно попытаться доказать, что предположительный минимум глобальный. В вашей задаче любопытно применить аналитические методы к первой задаче. Давайте попробуем. Для второй задачи можно попробовать применить аналитические методы для числа зарядов меньше пяти либо для кратного четырём. Для произвольного числа зарядов во второй задаче можно попробовать применить численные методы. Правда, непонятно, что из этого можно извлечь.

-- Сб апр 18, 2015 09:36:55 --

eugrita в сообщении #1005160 писал(а):

Известны ли решения? исследовались и как-то отражены в физике или физ-химии?

А пока подойдут знатоки, можно будет попробовать и самим что-то изобразить.

[eugrita]

Хорошо. А как же все-таки насчет экспертизы на новизну? Жду ответа физиков

-- Сб апр 18, 2015 10:03:11 --

мат-ламер в сообщении #1005162 писал(а):

eugrita в сообщении #1005135 писал(а):

Рассматривались ли и какие могут быть приемы решения?

При этом при $n>5$ один заряд смело можно поместить в центре

[мат-ламер]

eugrita в сообщении #1005164 писал(а):

При этом при $n>5$ один заряд смело можно поместить в центре

Откуда произрастает ваша смелость? Интуиция подсказывает, какие-либо законы, либо может вы считали?

[Munin]

eugrita в сообщении #1005164 писал(а):

При этом при $n>5$ один заряд смело можно поместить в центре

Здесь на форуме приводились (численно найденные) решения, в которых заряды оказывались не в центре.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1005162 писал(а):

А подсказывает она, что заряды должны будут распределиться на окружности равномерно.

Это я ерунду сгоряча сказал. (Расматриваем первый случай - заряды на круге). Сейчас мне кажется, что заряды должны будут располагаться на нескольких концетрических окружностях. Сначала заполняется окружность - граница диска. Затем будут подключаться другие окружности. И только для некоторых $n$ один заряд будет в центре (как начало заполнения новой окружности).

-- Сб апр 18, 2015 18:21:31 --

Munin в сообщении #1005185 писал(а):

Здесь на форуме приводились (численно найденные) решения, в которых заряды оказывались не в центре.

Начало темы про теорему Ирншоу.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1005295 писал(а):

Начало темы про теорему Ирншоу.

Нашли - вот и дайте ссылку.

[мат-ламер]

Вот только сейчас нашёл http://dxdy.ru/post992396.html.