rank(A+B) и rank(A B)

[2old]

Немного запутался.
$(A\&B)$ - к матрице $A$ приписали матрицу $B$.

Ясно, что $\operatorname{rank}(A\&B)\leq\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$ -- рассмотрим линейную оболочку столбцов матрицы $A$. Добавим к ней только те столбцы из матрицы $B$, которые уже не лежат в ней. Тогда полученная линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой столбцов матрицы $(A\&B)$.

Теперь рассмотрим $\operatorname{rank}(A+B)$. С учетом выше описанной задачи ему тоже легко дать оценку сверху. Столбцы этой матрицы лежат в линейной оболочке матрицы $(A\&B)$, значит $\operatorname{rank}(A+B)\leq\operatorname{rank}(A\&B)\leq\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$.

Но я немного не понимаю, что получается когда мы складываем матрицы $A$ и $B$. И заодно видимо что такое сумма подпространств.

[Brukvalub]

2old в сообщении #1004367 писал(а):

Немного запутался.
$(A\&B)$ - к матрице $A$ приписали матрицу $B$.

Ясно, что $\operatorname{rank}(A\&B)\leq\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$ -- рассмотрим линейную оболочку столбцов матрицы $A$. Добавим к ней только те столбцы из матрицы $B$, которые уже не лежат в ней. Тогда полученная линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой столбцов матрицы $(A\&B)$.

Теперь рассмотрим $\operatorname{rank}(A+B)$. С учетом выше описанной задачи ему тоже легко дать оценку сверху. Столбцы этой матрицы лежат в линейной оболочке матрицы $(A\&B)$, значит $\operatorname{rank}(A+B)\leq\operatorname{rank}(A\&B)\leq\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$.

Но я немного не понимаю, что получается когда мы складываем матрицы $A$ и $B$. И заодно видимо что такое сумма подпространств.

Вы написали несколько утверждений. А в чем состоит ваш вопрос?

[2old]

Brukvalub
Ну правильные ли они?
И как показать второе неравенство другими рассуждениями, без приписывания матрицы.

Я попробовал еще через ядра, но не получается:

$\operatorname{rank}(A+B)=n-\dim\ker(A+B)$
$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=2n-\dim\ker(A)-\dim\ker(B)$

$(A+B)X=AX+BX$
Отсюда, если $X\in\ker(A)\cap\ker(B)$, то $X\in\ker(A+B)$
А как сформулировать что там с другим куском ядра я не знаю

[svv]

2old в сообщении #1004367 писал(а):

И заодно видимо что такое сумма подпространств.

Только сумма подпространств (пространства столбцов) у Вас получается в $A\&B$, а не в $A+B$, Вы же так и понимали?

-- Чт апр 16, 2015 16:29:39 --

2old в сообщении #1004381 писал(а):

И как показать второе неравенство другими рассуждениями, без приписывания матрицы.

Вы можете его выписать? Я почему спрашиваю: входит в него $A\& B$ или нет? Если входит, без приписывания не обойтись в силу самой формулировки, если же нет ($\operatorname{rank}(A+B)\leqslant\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$), такая оценка грубовата.

[2old]

svv
Да, так и понимал. Просто плохо сформулировал вопрос

Не входит, $\operatorname{rank}(A+B)\leq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$
Это упражнение из задачника, если вы предложите как усилить я буду рад потренироваться.

[svv]

Так Вы же сами усилили — и доказали.
$\operatorname{rank}(A+B)\leqslant\operatorname{rank}(A\&B)\leqslant\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)$
Всё хорошо.

[2old]

svv
Хотелось бы доказать без матрицы $(A\&B)$...Например закончить рассуждения с ядрами, но я там застрял. Я просто так и непонял как подпространство столбцов матрицы $A+B$ устроено

[svv]

Хорошо, если хотите, докажем через ядра.

2old в сообщении #1004381 писал(а):

$\operatorname{rank}(A+B)=n-\dim\ker(A+B)$
$\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)=2n-\dim\ker(A)-\dim\ker(B)$

Раз Вы это написали, Вы понимаете, что тому неравенству эквивалентно следующее:
$\dim\ker(A)+\dim\ker(B)\leqslant n+\dim\ker(A+B)$
И его надо доказать. Согласны?

[2old]

svv
Да, согласен

[svv]

К тем линейным пространствам, что Вы уже ввели, $\ker A, \ker B, \ker(A+B)$, добавим ещё:
$P=\ker A\cap \ker B$
$D_A$ — прямое дополнение $P$ до $\ker A$, т.е. такое пространство, что $\ker A=P\oplus D_A$
$D_B$ — прямое дополнение $P$ до $\ker B$. Аналогично, $\ker B=P\oplus D_B$

Выше Вы пришли к выводу, что (в новых обозначениях) $P$ — подпространство $\ker(A+B)$, следовательно,
$\dim P\leqslant\dim\ker(A+B)$

Что это даёт? Что остаётся доказать?

[2old]

svv
Как-то так

$$\operatorname{dim}(\ker{A}+\ker{B})=\operatorname{dim}\ker{A}+\operatorname{dim}\ker{B}-\operatorname{dim}P\leq n$$

$$\operatorname{dim}\ker{A}+\operatorname{dim}\ker{B}\leq n+\operatorname{dim}P\leq n+\operatorname{dim}\ker{(A+B)}$$

[svv]

Отлично, Вы применили формулу Грассмана.