2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Кольцо многочленов
Сообщение12.04.2015, 18:57 


30/11/14
54
Помогите с задачей, пожалуйста.

Доказать, что если $I$ - максимальный идеал $\mathbb{Z}[x]$, то $T=\mathbb{Z}[x]/I$ - конечное поле. Я доказывал так: если $T$ - бесконечное поле, то оно должно содержать в себе $\mathbb{Q}$, построим гомоморфное вложение $\mathbb{Q} \rightarrow T$, $1_{\mathbb{Q}} \rightarrow 1_{T}$, согласно определению гомоморфизма колец с единицей, затем для каждого $n \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ выполняется $n \rightarrow n+I$. Если же поле конечное, то должно существовать такое $m_1, m_2 \in \mathbb{N}$, что $m_1 \neq m_2$, $m_1+I=m_2+I$ и, следовательно, $m_1-m_2 \in I$.
Теперь, как видно, задача переходит в другую задачу: доказать, что если $I$ - максимальный идеал, то $\mathbb{Z} \bigcap I \neq \emptyset$. А это у меня доказать уже не получается, подскажите куда копать

 Профиль  
                  
 
 Re: Кольцо многочленов
Сообщение15.04.2015, 00:34 
Заслуженный участник


14/03/10
867
greg2 в сообщении #1003108 писал(а):
если $I$ - максимальный идеал, то $\mathbb{Z} \bigcap I \neq \emptyset$
Если $\mathbb{Z} \bigcap I$ пусто, то идеал $I\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[x]$ порожден многочленом $\varphi$ положительной степени. А тогда идеал $J=I+p\mathbb{Z}[x]$, строго содержащий $I$, является собственным при любом $p$, не делящем числители и знаменатели коэффициентов $\varphi$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group