Кольцо многочленов

[greg2]

Помогите с задачей, пожалуйста.

Доказать, что если $I$ - максимальный идеал $\mathbb{Z}[x]$, то $T=\mathbb{Z}[x]/I$ - конечное поле. Я доказывал так: если $T$ - бесконечное поле, то оно должно содержать в себе $\mathbb{Q}$, построим гомоморфное вложение $\mathbb{Q} \rightarrow T$, $1_{\mathbb{Q}} \rightarrow 1_{T}$, согласно определению гомоморфизма колец с единицей, затем для каждого $n \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ выполняется $n \rightarrow n+I$. Если же поле конечное, то должно существовать такое $m_1, m_2 \in \mathbb{N}$, что $m_1 \neq m_2$, $m_1+I=m_2+I$ и, следовательно, $m_1-m_2 \in I$.
Теперь, как видно, задача переходит в другую задачу: доказать, что если $I$ - максимальный идеал, то $\mathbb{Z} \bigcap I \neq \emptyset$. А это у меня доказать уже не получается, подскажите куда копать

[patzer2097]

greg2 в сообщении #1003108 писал(а):

если $I$ - максимальный идеал, то $\mathbb{Z} \bigcap I \neq \emptyset$

Если $\mathbb{Z} \bigcap I$ пусто, то идеал $I\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}[x]$ порожден многочленом $\varphi$ положительной степени. А тогда идеал $J=I+p\mathbb{Z}[x]$, строго содержащий $I$, является собственным при любом $p$, не делящем числители и знаменатели коэффициентов $\varphi$.