Центр масс однородной полусферы. Укажите ошибку.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток, к качестве упражнения мне нужно вывести формулу нахождения центра масс однородной полусферы массы $m$ и радиуса $R$, всем давно известен ответ, что она располагается на оси симметрии ровно посередке, однако в процессе вывода у меня почему-то возникает ошибка, прошу помочь разобраться.
Вот ход моего решения:

1. Для того, чтобы найти координаты центра масс попробуем найти потенциальную энергию однородной полусферы, лежащей на столе. Для этого проведем ось $x$ вдоль оси симметрии полусферы, направив ее вверх. Разобьем нашу полусферу на множество бесконечно тонких колечек и будем отсчитывать их бесконечно малую потенциальную энергию:
$dE =gxdm=gx\sigma dS=gx\sigma 2\pi r(x)dx$, где $\sigma = \frac{m}{2\pi R^2}$ - поверхностная плотность сферы,$r$ - радиус полусферы.

2. Найдем зависимость $r(x)$ от $x$ с помощью теоремы Пифагора:
$r = \sqrt{R^2 - x^2}$
Подставив, получим:
$dE = gx\sigma 2\pi \sqrt{R^2 - x^2}dx $

3. Для нахождения полной потенциальной энергии проинтегрируем найденное равенство:
$E = \int\limits_{0}^{R}gx\sigma 2\pi \sqrt{R^2 - x^2}dx$
Таким образом весь вопрос свелся к нахождению такого интеграла, для этого отметим, что:
$x=R\sin\varphi$, где $\varphi$ - угол между поверхностью стола и радиусом сферы, проведенной к нашему бесконечно тонкому колечку.
$dx = R\cos\varphi d\varphi$
Подставим такое выражение в наш интеграл и легко сосчитаем его:
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}g\sigma 2\pi R\sin\varphi\sqrt{R^2 - R^2\sin^2\varphi}R\cos\varphi d\varphi $
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}g\sigma 2\pi R^3\cos^2\varphi \sin\varphi d\varphi$
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}g\sigma \pi R^3\sin2\varphi\cos\varphi d\varphi$
Финишная прямая:
$E =\frac{g\sigma \pi R^3}{2} \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin3\varphi +\sin\varphi d\varphi$
$E =\frac{g\sigma \pi R^3}{2}(\frac{1}{3} + 1)} = \frac{2g\sigma \pi R^3}{3}= \frac{1}{3}mgR $
И это, конечно, хорошо, но неверно! Заранее прошу извинение за невежество!

[Nemiroff]

Площадь колечка не та. $\operatorname{d}\!S=2\pi r \operatorname{d}\!r$

[Pulseofmalstrem]

Nemiroff
Благодарю за отклик, сейчас перерешаю. Я правильно понимаю, что
$dr = Rd\varphi$ и тут несколько удобнее сферические координаты, чем декартовы.
-----
А не, все же декартовы удобнее.

[Nemiroff]

$\operatorname{d}\!r=\frac{\operatorname{d}\!x}{\cos\varphi}$, если я не ошибаюсь.

[Pulseofmalstrem]

Nemiroff
Все посчиталось, спасибо большое!
Вот так оно выходит:
$dE = xgdm = xg\sigma dS = xg\sigma2\pi r dr$
$x = R\sin\varphi$
$r = R\cos\varphi$
$dr = Rd\varphi$
Подставили, проинтегрировали и получаем:
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2\pi g \sigma R^3 \sin2\varphi d\varphi = \frac{1}{2}mgR $, что верно.

P.S. Как в Техе набирать вертикальную черту для вписывания пределов интегрирования? (Ну после определенного интеграла очень удобно рисовать вертикальную черточку и ставить туда значения, которые подставляем)?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

$\int\limits_a^b u\operatorname{d}\!v=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\operatorname{d}\!u$

$$\int\limits_a^b u\operatorname{d}\!v=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\operatorname{d}\!u$$

[Pulseofmalstrem]

Nemiroff

(Оффтоп)

А можно код посмотреть?

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Для просмотра кода можно навести мышкой на картинку, или просто скопировать её в буфер. Получится вот это:

$\int\limits_a^b u\operatorname{d}\!v=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\operatorname{d}\!u$

$$\int\limits_a^b u\operatorname{d}\!v=u\,v\,\bigg|_a^b-\int\limits_a^b v\operatorname{d}\!u$$

[Pulseofmalstrem]

Nemiroff
Премного благодарен.

P.S. Тему можно закрывать.