Кажется, я поторопился с выводами...
Замена

приводит к:

Далее, преобразование Лежандра

,
(

- новая неизвестная функция,

- новая независимая переменная) в предположении

приводит к уравнению
![$\omega'^2+z\cdot\omega''\cdot\omega'+\frac{4}{k}\cdot z^2\cdot\omega''\cdot\left[(z-1)\cdot\omega'-\omega\right]=1$ $\omega'^2+z\cdot\omega''\cdot\omega'+\frac{4}{k}\cdot z^2\cdot\omega''\cdot\left[(z-1)\cdot\omega'-\omega\right]=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/5/49532cf074ee66889ff9a1486005deed82.png)
.
Единица в правой части портит всё. Слева стоит однородное по

,

,

выражение, замена

,

понижает порядок уравнения. При нулевой правой части получилось бы уравнение Абеля 2-го рода, причем интегрируемый случай.
Однако, я так понял, знание общего решения соответствующего однородного (в смысле нулевой правой части) уравнения не дает ничего (в случае нелинейности). Достаточно вспомнить решение уравнения

.