Крутые нормы

[AGu]

Пусть $X$ — произвольное бесконечномерное векторное пространство.

Рассмотрим две нормы $\|{\cdot}\|$ и $\|{\cdot}\|'$ на $X$.
Будем говорить, что $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$, если $\|{\cdot}\|'$ сильнее $\|{\cdot}\|$
и шар $\{x\in X:\|x\|'\leqslant 1\}$ не замкнут относительно $\|{\cdot}\|$.

(1) Различаются ли отношения «круче» и «строго сильнее»?
(2) Для любой ли нормы на $X$ существует более сильная норма?
(3) Для любой ли нормы на $X$ существует более крутая норма?

P.S. $\|{\cdot}\|'$ сильнее $\|{\cdot}\|\Leftrightarrow(\exists\,c>0)\ \|{\cdot}\|\leqslant c\|{\cdot}\|'$;
более сильная $\Leftrightarrow$ строго сильнее $\Leftrightarrow$ сильнее и не эквивалентна.

[NSKuber]

«Круче» точно не хуже «строго сильнее»:
Пусть $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$. Это означает, что существует последовательность $\{x_n\}$ элементов $X$ такая, что $\|{x_n}\|'\leqslant 1$, $x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|}x$ и $\|{x}\|'> 1$.
Пусть $\|{x}\|'=1+\varepsilon$, где $\varepsilon>0$. Тогда:
$\|{x_n-x}\|'\geqslant|\|{x_n}\|'-\|{x}\|'|=\|{x}\|'-\|{x_n}\|'\geqslant\varepsilon \foralln$
С другой стороны, $\|{x_n-x}\|\to0$. Значит $\forall c>0 \, \exists n: \|{x_n-x}\|'\geqslant c\|{x_n-x}\|$.
В обратную сторону пока глухо.

[AGu]

NSKuber, пока все верно.

Делюсь альтернативным обоснованием ровно того же, что Вы успели заметить.

Как известно, эквивалентность норм равносильна совпадению соответствующих топологий.
Пусть $\|{\cdot}\|'$ круче $\|{\cdot}\|$.
Шар $\{x\in X:\|x\|'\leqslant 1\}$, очевидно, замкнут относительно $\|{\cdot}\|'$.
Стало быть, есть множество, замкнутое относительно $\|{\cdot}\|'$, но не замкнутое относительно $\|{\cdot}\|$.
Следовательно, у норм $\|{\cdot}\|'$ и $\|{\cdot}\|$ разные топологии.
Следовательно, эти нормы не эквивалентны.

[Oleg Zubelevich]

почти не думал, так, что если скажу глупость pardon

на вопросы (2) (3) ответ положительный: пусть $\|\cdot\|$ -- норма и $f$ неограниченный функционал в смысле этой нормы; $\|\cdot\|':=\|\cdot\|+|f(\cdot)|$

-- Пт апр 10, 2015 23:01:53 --

это скорее гипотеза, я ее не проверял

[AGu]

Oleg Zubelevich в сообщении #1002458 писал(а):

это скорее гипотеза, я ее не проверял

Разумная гипотеза.

Кстати, норма $\|{\cdot}\|+|f({\cdot})|$ эквивалентна $\|{\cdot}\|\lor|f({\cdot})|$. Вторая норма технически чуть проще, так как ее шар равен пересечению $\{\|{\cdot}\|\leqslant1\}\cap\{|f({\cdot})|\leqslant1\}$.

[NSKuber]

Доказал, что обратное неверно: существует пространство и две нормы в нём такие, что первая строго сильнее второй, но не круче.
Как доберусь до компа, распишу.
Гипотеза Oleg Zubelevich, по-моему, очевидно верна для (2) (да, существует). В силу неэквивалентности понятий для (3) надо думать что-то ещё.

[AGu]

NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):

Доказал, что обратное неверно: существует пространство и две нормы в нём такие, что первая строго сильнее второй, но не круче.
Как доберусь до компа, распишу.

Это правда. Верю, надеюсь, жду.

NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):

Гипотеза Oleg Zubelevich, по-моему, очевидно верна для (2) (да, существует).

Да, тут нет сомнений.

NSKuber в сообщении #1002585 писал(а):

В силу неэквивалентности понятий для (3) надо думать что-то ещё.

Было бы славно.

[NSKuber]

Рассмотрим пространство $\ell^1$ всех суммируемых последовательностей, а в нём нормы $\|{\cdot}\|_1$ и $\|{\cdot}\|_\infty$. Очевидно, что первая строго сильнее второй.
Предположим, первая круче второй. Это означает, что существует последовательность $\{x_n\}$ элементов $\ell^1$ такая, что
$x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x$, $\|{x_n}\|_1\leqslant 1$ и $\|{x}\|_1> 1$.
Покажем, что такого быть не может. В самом деле, из $\|{x}\|_1> 1$ следует, что
$\exists \varepsilon >0\,\exists N:\sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)|=1+\varepsilon$. Так как $\|{x_n}\|_1\leqslant 1$, то $\forall n \sum\limits_{i=1}^{N}|x_n(i)|\leqslant 1$.
Таким образом, $\sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)-x_n(i)|\geqslant \sum\limits_{i=1}^{N}|x(i)|-\sum\limits_{i=1}^{N}|x_n(i)|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \max\limits_{i\leqslant N}|x(i)-x_n(i)|\geqslant \frac{\varepsilon}{N}$ для всех $n$, что противоречит сходимости $x_n$ к $x$ по супремум-норме.

Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой? Я долго над этим не раздумывал, посмотреть хочется

[AGu]

NSKuber, вновь все верно.

По традиции привожу альтернативное обоснование того же самого.

Для $x\in\ell^1$ и $k\in\mathbb N$ положим $x[k]=\bigl(x(1),\dots,x(k)\bigr)$.
Пусть $\|x_n\|_1\leqslant1$ и $x_n\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x$. Покажем, что $\|x\|_1\leqslant1$.
Для любого $k\in\mathbb N$ имеем $\bigl\|x_n[k]\bigr\|_1\leqslant1$ и $x_n[k]\xrightarrow{\|{\cdot}\|_\infty}x[k]$,
откуда в силу эквивалентности норм на $\mathbb R^k$ следует
$x_n[k]\xrightarrow{\|{\cdot}\|_1}x[k]$ и, в частности, $\bigl\|x[k]\bigr\|_1\leqslant1$.
Стало быть, $\|x\|_1=\sup\limits_{k\in\mathbb N}\ \bigl\|x[k]\bigr\|_1\leqslant1$.

NSKuber в сообщении #1002611 писал(а):

Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой?

Рановато.
Предлагаю вернуться к этому вопросу (если он останется) после того, как мы разберемся с (3).

Кстати, из приведенного выше «альтернативного обоснования» видно,
что на пространствах последовательностей классические нормы не круче друг друга,
так как все те рассуждения сохраняют силу для любых пар $\|{\cdot}\|_p,\|{\cdot}\|_q$.

[AGu]

Подсказать?
Могу, например, сообщить:

(а) … ответ «да»/«нет» на вопрос (3);
(б) … справедлива ли гипотеза Oleg Zubelevich;
(в) … какая из подсказок (а) или (б) будет сильнее;
(г) … что подсказка уже была сделана.

[sup]

NSKuber в сообщении #1002611 писал(а):

Кстати, а у вас имеется какой-нибудь конкретный пример пары норм, одна из которых круче другой?

Предлагается один простой примерчик крутой нормы. В сущности, это то, что и предлагал Oleg Zubelevich.
Рассмотрим пространство $C[0,1]$. Но с нормой $\|u\|_0 = \|u\|_{L_2(0,1)}$. А в качестве второй нормы рассмотрим $\|u\|_1 = \|u\|_{L_2(0,1)} + |u(0)|$. Полноты нет. Но ее и не требовалось.

(Оффтоп)

Кстати, этот пример у меня возник в практической деятельности. Правда там возник не такой, хотя и родственный вопрос. Дано выпуклое множество с непустой внутренностью в банаховом пространстве. Есть еще и "слабая" норма. При каких условиях на эту норму замыкание этого множества все еще имеет внутренность. Там были еще кое-какие вопросы. Но вот одним из примеров как раз и было замыкание в $L_2$ множества непрерывных функций, равных 0 в некой точке.

[AGu]

sup, симпатичный пример. Спасибо.

[AGu]

Видимо, пора закругляться с этой «крутотой». Раскалываюсь.
Гипотеза Oleg Zubelevich справедлива — в том числе, для (3).

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное пространство с нормой $\|{\cdot}\|$.
Рассмотрим норму $\|x\|':=\max\{\|x\|,|f(x)|\}$, где $f\in X^\#\backslash X'$.
Положим

$B^\circ:=\{x\in X:\|x\|<1\}$,
$B:=\{x\in X:\|x\|\leqslant1\}$,
$F:=\{x\in X:|f(x)|\leqslant1\}$,
$B':=\{x\in X:\|x\|'\leqslant1\}=B\cap F$

и покажем, что $B'$ не замкнуто.

Из $\|f\|=\infty>1$ следует $B^\circ\not\subset F$, а значит, есть $x\in B^\circ\backslash F$.
Из $f\notin X'$ следует $\operatorname{cl}F=X$, а значит, есть $x_n\in F$, $x_n\to x$.
Поскольку $x\in B^\circ$ и $B^\circ$ открыто, можно считать, что $x_n\in B^\circ$.
Таким образом, $x_n\in B'$ и $x_n\to x$, но $x\notin B'$.
Следовательно, $B'$ не замкнуто.

Еще можно так рассуждать: из $\operatorname{cl}F=X$ следует $\operatorname{cl}(B^\circ\cap F)=B$,
откуда $\operatorname{cl}B'=\operatorname{cl}(B\cap F)=B$, в то время как $B'\ne B$.

Итак, все вопросы выяснены. Всем спасибо.