Вопрос по сходимости степенного ряда

[GlazkovD]

Решал следующее задание и наткнулся на несколько вопросов, хотя наверное и сам знаю на них ответ, но хочется удостовериться.
Лучше сразу по задаче.

Задача: Найти интервал сходимости степенного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {n! x^n} {n ^ n}$$

мое решение

Я использовал формулу радиуса сходимости:
Для степенного ряда

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} A0+A1x+A2 x^2 +...An x^n+...$$

$$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac {An}{A(n+1)}\right|$$

$$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac {\frac {n!} {n ^n }}{\frac {(n+1)!} {(n+1) ^ {n+1}}}\right| = e$$

Предварительно можно сказать что интервал сходимости при x =(-e;e) однако надо знать сходимость или расходимость ряда в крайних точках

$$e$$

$$-e$$

Узнаем, сходится ли ряд в точке x=e

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {n! e^n} {n ^ n}$$

Получить ответ на сходимость данного ряда с помощью теоремы Коши либо Даланбера мне не удалось, т.к оба соответствующих предела получились равными единице.
Однако есть одна прекрасная вещь.

Предел не равен нулю, значит однозначно ряд расходится
(Достаточное условие расходимости ряда)

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {n! e^n} {n ^ n} = \infty $$

Значит точка x=e не входит в интервал сходимости ряда.

Узнаем, сходится ли ряд в точке x=-e

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {n! (-e)^n} {n ^ n}$$

Это знакочередующийся ряд лейбница.
Проверим, сходится ли данный ряд.
Первое условие сходимости:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает.
Т.е

$$|u1|>|u2|......$$

$$f(n)=\frac {n! (-e)^n} {n ^ n}$$

$$f(1)=e$$

$$f(2)=0.5 e^2$$

f(2)>f(1) возрастает. Следовательно первое условие не выполнено.
Ряд расходящийся.
Итого интервал сходимости исходного степенного ряда (-e;e).

А тут то и вопросы следующие.
По идеи формула подразумевает начало ряда с

$$n=0$$

, а у нас начало ряда идет с

$$n=1$$

Я думаю так:
По сути дела, если учесть n=0, то это всего лишь добавит к ряду одно положительное число, и мне кажется что прибавление константы к функциональному степенному ряду не повлечет за собой влияния на сходимость в определенном интервале x.
Т.к сходящийся ряд+ константа=всеравно сходящийся ряд.

Так ли это ?

и второй вопрос. Про обычный ряд говорится:
Если у ряда убрать конечное число членов то это не повлияет на сходимость или расходимость.
Т.е если ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} Un$$

сходится

$$\sum\limits_{n=3}^{\infty} Un$$

так же сходится

если ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} Un$$

расходится

$$\sum\limits_{n=3}^{\infty} Un$$

так же расходится.

Распространяется ли данный факт(для числовых рядов) на функциональные ?
Влияет ли добавление или отбрасывание членов у функционального ряда на интервал сходимости ?

[незваный гость]

GlazkovD писал(а):

Первое условие сходимости:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает.
Т.е

$$|u1|>|u2|......$$

$$f(n)=\frac {n! (-e)^n} {n ^ n}$$

$$f(1)=e$$

$$f(2)=0.5 e^2$$

f(2)>f(1) возрастает. Следовательно первое условие не выполнено.
Ряд расходящийся.

Это не важно. Здесь достаточно, чтобы монотонность начиналась начиная с некоторого места.

GlazkovD писал(а):

А тут то и вопросы следующие.
По идеи формула подразумевает начало ряда с

$$n=0$$

, а у нас начало ряда идет с

$$n=1$$

При изучении сходимости мы можем отбросить/переставить произвольное конечное число членов, на сходимости/расходимости это не отразится.

GlazkovD писал(а):

Влияет ли добавление или отбрасывание членов у функционального ряда на интервал сходимости ?

Если члены определены на всём интервале, то нет. Иначе рассмотрите произвольный ряд, сходящийся, например, на (-1, 1). Прибавьте $1/x$, и всё — никакой сходимости в 0.

[Алексей К.]

GlazkovD писал(а):

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} A0+A1x+A2 x^2 +...An x^n+...$$

$$R=\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac {An}{A(n+1)}\right|$$

GlazkovD, Ваши задачки всё усложняются, и без правильного написания индексов скоро будет не обойтись... А уж работая с рядами --- самое время научиться. В Вашей дроби $\dfrac {An}{A(n+1)}$ так и хочется сократить $A$... Правильно так (Вы это уже пользовали при команде $\lim{}$):

\frac {A_n}{A_{n+1}}

[AD]

GlazkovD писал(а):

f(2)>f(1) возрастает. Следовательно первое условие не выполнено.
Ряд расходящийся.

Давайте еще раз уточню, на всякий случай. Признак Лейбница не является критерием. Если его условия выполняются - ряд стопудово сходится, но если условия не выполняются - то ничего сказать нельзя. Ваш пример особенно по этому поводу поучителен, потому что вы сделали некое заявление про конечное число членов ряда (а именно, про первые два) - и сделали вывод, что ряд расходится, хотя по конечному числу членов ряда вообще ничего нельзя понять.

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {n! e^n} {n ^ n} = \infty $$

Этого достаточно для исследования сходимости на обоих концах.

[Профессор Снэйп]

GlazkovD писал(а):

Предел не равен нулю, значит однозначно ряд расходится
(Достаточное условие расходимости ряда)

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac {n! e^n} {n ^ n} = \infty $$

Значит точка x=e не входит в интервал сходимости ряда.

Узнаем, сходится ли ряд в точке x=-e

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac {n! (-e)^n} {n ^ n}$$

Это знакочередующийся ряд лейбница.
Проверим, сходится ли данный ряд.
Первое условие сходимости:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает.
Т.е

$$|u1|>|u2|......$$

$$f(n)=\frac {n! (-e)^n} {n ^ n}$$

$$f(1)=e$$

$$f(2)=0.5 e^2$$

f(2)>f(1) возрастает. Следовательно первое условие не выполнено.
Ряд расходящийся.

Зачем Вам какие-то сложные рассмотрения при $x = -e$? Вы ведь уже отметили, что $(n! e^n)/n^n$ не сходится к нулю. Значит, и $(-1)^n(n! e^n)/n^n$ тоже не будет сходиться к нулю и сразу получаем, что знакопеременный ряд тоже расходится. Не нужно никаких Лейбницев, никаких убываний/возрастаний, это всё лишнее!

[GlazkovD]

Большое спасибо за ответы
Это как раз задача из моей контрольной работы.
(пока что в рядах не сильно разбираюсь, по этому и задаю, порой глупые вопросы), но как только сдам контрольные работы(по вышке и другим предметам), буду сидеть с сборником задач и нарешивать.