Делители

[el greco]

Пожалуйста, подскажите путь решения.
Пусть $a_1, a_2...$ – все натуральные делители числа $a$, расположенные в порядке возрастания, $b_1, b_2...$ – все натуральные делители числа $b$, расположенные в порядке возрастания. Известно, что $a_n + b_n = a, a_{n +1} + b_{n +1} = b$. Найдите числа $a$ и $b$ (в зависимости от $n$).

[Руст]

Очевидно, что $b_{n+1}|a_{n+1}$ и $a_n|b_n$ и $a=a_n+b_n\le \frac 12 (a_{n+1}+b_{n+1})\le b/2$.
Отсюда $a=2c=a_{n+1},b=4c, c=a_n$

[worm2]

По-моему, это ещё не всё решение.
Для $n=1$ подходит только $a=2$, $b=4$.
Для $n=2$, поскольку у $b$ есть множитель 4, у $a$ он тоже должен быть, поэтому получается $a=4$, $b=8$. И т.д.
Сумбурно написал, это ещё не строгое доказательство, но, вроде бы, тут получается $a=2^n$, $b=2^{n+1}$.

[Руст]

Да, я забыл согласовать номера делителей.
Вначале из $b_n=ma_n, a=(m+1)a_n, a_{n+1}=kb_{n+1},b=(k+1)b_{n+1}$ получаем, что $a_{n+1}=a$ (иначе $a>b$) и
$a=\frac{k}{k+1}b\ge b/2$ и $b_n=\frac{m}{m+1}a, b=db_n=\frac{dma}{m+1}.$
Если $d\ge 4$ отсюда следует, что $b\ge 2a$ и вместе $b=2a$.
Случай $b_{n+1}=b/2, b_n=b/3 (d=3)$ надо рассмотреть отдельно. Тогда $k=1$ и $a=a_{n+1}=b_{n+1}=b/2$, т.е. опять $b=2a$.
Остается считать количество делителей, так чтобы получилось $n+1$ - количество делителей a и $n+2$ - количество делителей у $b=2a$.
Пусть $a=2^k A$, где $A$ нечетное число. Тогда $n+1=(k+1)\tau(A), n+2=(k+2)\tau(A)\to 1=\tau(A)\to A=1$.
Следовательно $a=2^n,b=2^{n+1}$.