Исследовать устойчивость явной схемы

[netang]

$\frac{u_{m}^{n+1}-u_{m}^{n}}{\tau} = \frac{u_{m-1}^{n}-2u_{m}^{n}+u_{m+1}^{n}}{h^2}+f_{m}^{n}$
$u_{m}^{n} = \lambda^{n}e^{i\alpha m}$
$\frac{\lambda^{n+1}e^{i\alpha m} - \lambda^{n}e^{i\alpha m}}{\tau} = \frac{\lambda^{n}e^{i\alpha (m-1)}-2\lambda^{n} e^{i\alpha m}+\lambda^{n}e^{i\alpha (m+1)}}{h^2}$
$\frac{\lambda - 1}{\tau} = \frac{e^{-i\alpha}-2+e^{i\alpha}}{h^2}$
$e^{\pm i\alpha} = \cos\alpha \pm i\sin\alpha$
$\lambda = \frac{(2\cos\alpha - 2)\tau}{h^2}+1$
Получается схема не устойчива, или устойчива только когда $\cos\alpha = 1$?

[мат-ламер]

netang
За вашими вычислениями не следил. А что, из последней формулы разве не ясно, что отношение $\tau /h^2$ должно как-то влиять на устойчивость?

[dsge]

$(2\cos\alpha - 2)\leq 0 $

[netang]

dsge в сообщении #1002936 писал(а):

$(2\cos\alpha - 2)\leq 0 $

Спасибо, я не заметил это вначале
Получается следующее, $-1 \leqslant \frac{(2\cos\alpha - 2)\tau}{h^2} + 1\leqslant 1$
Для неравенства справа $\frac{(2\cos\alpha - 2)\tau}{h^2} \leqslant 0, \forall \tau, h$
Для неравенства слева $\frac{2\tau}{h^2} \geqslant 1$?
Т.е. схема устойчива, когда выполняется последнее неравенство?

[dsge]

netang в сообщении #1002977 писал(а):

Для неравенства слева $\frac{2\tau}{h^2} \geqslant 1$?
Т.е. схема устойчива, когда выполняется последнее неравенство?

А если $\frac{2\tau}{h^2} = 10000$?

[netang]

Теперь верно $\tau \geqslant \frac{h^2}{2}$? Или я с неравенством ошибся?

[dsge]

netang в сообщении #1002989 писал(а):

Теперь верно $\tau \geqslant \frac{h^2}{2}$?

Подставьте $ h=1$ и $\tau =10$ в левое неравенство.

[netang]

Что-то я совсем запутался, выражение $(2\cos\alpha-2)$ имеет самую нижнюю границу $-4$.
Имеем $-2 \leqslant \frac{-4\tau}{h^2}$, значит нужно взять $\frac{1}{2} \geqslant \frac{\tau}{h^2} $?

[мат-ламер]

netang в сообщении #1002989 писал(а):

Теперь верно $\tau \geqslant \frac{h^2}{2}$? Или я с неравенством ошибся?

Проверьте выкладки, не ошиблись ли вы с направлением знака неравенства.

-- Вс апр 12, 2015 18:28:36 --

netang в сообщении #1003061 писал(а):

значит нужно взять $\frac{1}{2} \geqslant \frac{\tau}{h^2} $?

Это больше похоже на правду.