Отобразить верхний полукруг на круг без разреза

[gammaker]

Пытаюсь решить задачу по уравнениям математической физике, которая сводится к отображению верхнего полукруга радиуса $r_0$ на единичный круг. Я уж было обрадовался, что мне попалась лёгкая задача. Взял отображение $(\frac{z}{r_0})^2$, подставил в формулу, которая как раз выведена в задачнике для подобных задач. И получил простой ответ. Потом посмотрел в ответы и увидел там жуткие многоэтажные дроби и тангенсы в степени $\frac{2}{3}$.
Спросил преподавателя, оказалось что дело в разрезе $[0; r_0)$. Он посоветовал отобразить на квадрант. Я построил такое отображение: $z_1 = i \frac{z+1}{z-1}$. А что дальше делать, не знаю. Можно конечно возвести в квадрат и перевести полученную полуплоскость в круг. Но опять же возникнет разрез, да и степень 2/3 из ответа никаким образом появиться при этом не сможет.
Ещё возникла идея попробовать функцией Жуковского перевести в полуплоскость, но видимо она тоже не поможет.

Вообще мне не очень понятно, как отследить, когда будет разрез, а когда нет.

[Brukvalub]

Вы верно решили применить функцию Жуковского: она отобразит верхний полукруг на нижнюю полуплоскость, остается свернуть вещ. ось в единичную окружность так, чтобы нижняя полуплоскость стала внутренностью ед.круга.

[ex-math]

Чтобы отследить разрез, нужно смотреть, куда переходит граница области. В случае возведения в квадрат полуокружность перейдет в окружность, а диаметр полукруга -- в тот самый разрез.

[gammaker]

А каким образом свернуть? Если использовать ДЛП, то бесконечность будет отображаться в 1 (или какую-то другую конечную константу). Но для решения задачи нужно, чтобы бесконечность переходила в бесконечность.
Я забыл об этом указать в первом посте.