Обратная функция

[rabbit-a]

Уважаемые математики, помогите разобраться.
Дана функция $y=\sqrt[3]{x^2+1}$ нужно найти к ней обратную.
Как я понимаю, обратную функцию можно однозначно найти только если исходная функция биективна.

Итак, я выделяю промежутки монотонности x>0 и x<0 и на каждом из них нахожу обратную к ней.

$y^{-1}(x)=\sqrt{x^3-1}$ при x>0

$y^{-1}(x)=-\sqrt{x^3-1}$ при x<0

но ведь обратная функция (в обоих случаях) определена лишь при $x\ge 1 $ (!)

Как же следует правильно записать ответ?

[alcoholist]

Какая область значений $y(x)$, такая и область определения обратной функции

(Оффтоп)

И лучше писать не $y^{-1}(x)$, а $x(y)$... Хоть это и не принципиально

[rabbit-a]

Да, спасибо. Я понял, что множество значений исходной функции есть область определения обратной. Но в данном случае меня интересует могу ли я формально записать ответ (обратную функцию) с условиями x>0 и x<0 или я должен писать $x_1(y)=....$ отвечает промежутку монотонности исходной функции x<0 и соответственно для $x_2(y)$? или как-то по иному?

т.е. уточняю вопрос: как правильно формализовать ответ?

[Brukvalub]

Правильно написать: на всей области определения эту функцию обратить нельзя (потому-то-потому-то), поэтому разобьем область определения на участки монотонности и обратим функцию на этих участках. Итак,....(далее ваш облагороженный текст).

[rabbit-a]

Ясно, спасибо

[iifat]

Ну, тут, по-моему, имеет место некая туманная область. В принципе, обратная функция может быть только у инъективной (что, кстати, не равносильно монотонности — только для непрерывных). Однако, нестрого говоря, иногда оперируют многозначными функциями. В данном случае, например: $x=\sqrt{x^3-1}$. Или $x=\pm\sqrt{x^3-1}$ — под квадратным корнем иногда понимается положительное значение, иногда оба. Таки да, это нестрого и, в зависимости от ситуации, неверно.