Потенциальная энергия однородного полукруга.

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток, благодарю за внимание.
Прошу проверить правильность выполнения следующего задания (у меня не сошлось с ответом, правда ответы на данную серию задач могут быть с ошибками, и хотелось бы выяснить правду).
Необходимо найти потенциальную энергию однородного плоского полукруга радиуса $R$ и массы $m$, стоящего вертикально. Для этого разбиваем его на маленькие полоски и считаем энергию каждой в зависимости от ее высоты(ось направим по вертикальному радиусу вверх):
$ dE = gxdm = 2gxr\sigma dx $, где $\sigma$ - поверхностная плотность,$ r$ - радиус элемента.
Найдем связь между$r$ и $x$:
$R^2 = r^2 + x^2; r^2 = R^2 - x^2$
Подставим:
$dE = 2gx\sigma \sqrt{R^2 - x^2}dx$
Проссуммируем от начала до конца:
$ E = \int\limits_{0}^{R}2gx\sigma \sqrt{R^2 - x^2}dx $
Теперь вопрос за нахождением этого интеграла, произведем замену переменных:
$x =R\sin \varphi$, тогда
$dx = R\cos \varphi d \varphi$
$\sqrt{R^2 - x^2} = R\cos \varphi$
Подставим:
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}2g\sigma R\cos \varphi R\sin \varphi R\cos \varphi d \varphi$
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sigma gR^3\sin 2\varphi \cos\varphi d\varphi$
Применим формулу синуса на косинус:
$E = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\sigma gR^3(\sin3\varphi + \sin\varphi)d\varphi$
Вычисляем интеграл:
$E = \frac{1}{2}\sigma gR^3 (\frac{1}{3}\cos0 +\cos 0)= \frac{1}{6}\sigma gR^3 + \frac{1}{2}\sigma gR^3 = \frac{2}{3}\sigma gR^3=\frac{2}{3\pi}$

[gris]

А куда делись из ответа масса и радиус?
Ваша "поверхностная плотность" это же $\sigma=m/ \pi R^2$?

[Pulseofmalstrem]

gris в сообщении #1002371 писал(а):

А куда делись из ответа масса и радиус?

Опечатка , не заметил и поправить уже нельзя. Конечно, ответ такой получился:
$ E = \frac{2}{3\pi}mgR$
$\sigma = \frac{m}{\pi R^2}$

[gris]

Да, но почему двойка в числителе? Да, всё правильно.

[Pulseofmalstrem]

gris в сообщении #1002371 писал(а):

А куда делись из ответа масса и радиус?
Ваша "поверхностная плотность" это же $\sigma=m/4 \pi R^2$?

Задача двумерная, так что там без четверки.

-- 10.04.2015, 19:11 --

gris
$\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1 +3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, вот такие коэффициенты получишись из интеграла.

[gris]

Да, да , правильно, ведь у Вас там в энергии двойка. Осталось проверить, правильно ли интеграл посчитан. По размерности правильно. Попробуйте с другой заменой. $t=r^2-x^2$ Вроде бы то же самое получается. А что в ответах?

[Pulseofmalstrem]

[quote="gris в сообщении #1002376А что в ответах?[/quote]
В 2 раза отличается.

[gris]

Ну правильно. Ведь Ваша "поверхностная плотность" не "двумерная плотность". Я тоже зевнул, думал, что двойка в энергии относится в плотности, а не к $r$.
Половина круга имеет массу $m$, а не весь круг. И двумерная плотность будет в два раза больше, как и энергия.
Кстати, получившааяся формула содержит высоту центра масс стоячего полукруга.

[Pulseofmalstrem]

gris
А, понял! По секрету скажу, что именно центр масс в задаче и просили найти, но я опустил этот момент, так ключевой момент заключается в подсчете энергии потенциальной в данном случае.