Решение кубического уравнения аналитическим способом.

[Punisher174]

Здравствуйте! Есть вопрос по решению кубического уравнения аналитически.

Допустим есть уравнение вида:
$x^{3}+847.12234684510304x^{2}+36496529769.030357x-0.02470037029184359=$0$

У уравнения два комплексных и один действительный корень равный 6.767868191E-13. Программировал метод (формулу) Кардано, тригонометрическое решение, но ничего не дает требуемую точность, так как что-то там в -11 степени не подходит. Понимаю, что по мере нахождения всяких сопутствующих математических операций и машинной точности, что-то может теряться. Те же maple, wolfram alfa находят корень точно. Mapl'у явно говорил, чтобы решал аналитически, про wolfram alfa ничего не могу сказать, что он там делает. Код из интернетов тоже не дает такого ответа. Предполагалось заменить аналитическим решением численное. И вообще в перспективе решать и четвертую степень аналитически (решение кубического уравнения собственно является частью метода для решения четвертой степени).

Есть какой-нибудь выход?

Спасибо!

[venco]

Конкретно в этом уравнении если отбросить куб, да и квадрат тоже, решение практически не изменится.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Punisher174]

venco в сообщении #1002062 писал(а):

Конкретно в этом уравнении если отбросить куб, да и квадрат тоже, решение практически не изменится.

Спасибо за замечание. Это действительно так. Постараюсь набрать статистики и выявить закономерности, может и поможет.

[Sphinx Pinastri]

Всё зависит от того, сколько уравнений надо решить и как быстро. Если особых требований по производительности нет, я бы действовал так.
1. Избавился бы от дробей, домножив уравнение на 10^{20}$ и подставив $x = 10^{100}y$
2. Подобрал бы наиболее подходящее целое приближение к корню методом двоичного поиска.
Программу удобно писать на Питоне, где есть целая арифметика неограниченной точности.

[mihailm]

Все-таки, так как на компьютере пофиг линейные уравнения или квадратные решать, я бы выбросил только куб, точность (по сравнению с линейным случаем) выросла бы на несколько порядков. Один из корней конечно надо выбросить. И здесь, тоже наберите статистики.

[venco]

Формулу Кардано можно преобразовать так, чтобы она была более численно устойчивой в таких случаях:

Исходное уравнение

$$ax^3+bx^2+cx+d=0$$

заменами

$$x=t-\frac b{3a}$$

$$P=\frac{3ac-b^2}{9a^2}$$

$$Q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{54a^3}$$

переводим к виду

$$t^3+3Pt+2Q=0$$

Затем вычисляем величину

$$S=\sqrt[3]{{\left(Q+\sqrt{Q^2+P^3}\right)}^2}$$

и корень

$$t=\frac{-2QS}{P^2+PS+S^2}$$

[Punisher174]

mihailm в сообщении #1002083 писал(а):

Все-таки, так как на компьютере пофиг линейные уравнения или квадратные решать, я бы выбросил только куб, точность (по сравнению с линейным случаем) выросла бы на несколько порядков. Один из корней конечно надо выбросить. И здесь, тоже наберите статистики.

Проверил возникающие случаи. Действительно, кое-где подходит аппроксимация квадратичной функцией, кое-где линейной, где-то сделать этого нельзя. Проводить анализ и выбирать какой способ использовать, пока считаю путем, приводящем к ошибкам. Тем не менее начальные приближения для численных методов получаются хорошими.

-- 10.04.2015, 22:20 --

Sphinx Pinastri в сообщении #1002082 писал(а):

Всё зависит от того, сколько уравнений надо решить и как быстро. Если особых требований по производительности нет, я бы действовал так.
1. Избавился бы от дробей, домножив уравнение на 10^{20}$ и подставив $x = 10^{100}y$
2. Подобрал бы наиболее подходящее целое приближение к корню методом двоичного поиска.
Программу удобно писать на Питоне, где есть целая арифметика неограниченной точности.

Пока попробовал использовать длинную арифметику без модернизации алгоритма. Результат плохой. Буду пробовать и ваш вариант.

-- 10.04.2015, 22:22 --

venco в сообщении #1002363 писал(а):

Формулу Кардано можно преобразовать так, чтобы она была более численно устойчивой

Применил ваши изменения, результат стал лучше.

-- 10.04.2015, 22:39 --

Более оптимизировал вычисления и результат стал идеальным на тех данных, что у меня были дома, используя формулу venco и длинную арифметику Python. Буду пробовать переносить все на С++ и проверять в общем случае. Спасибо.

[Punisher174]

С++ показал, что все-таки "чудо" сделала длинная арифметика. Буду подключить либу gmp или boost, надеюсь производительность упадет не так существенно.