определение тензора

[illuminates]

Говорят что полилинейной формой нельзя определить все тензоры. Так, линейный оператор является тензором, но не является полилинейной формой (это кажется очевидно, ведь полилинейная форма отображает в поле чисел, в отличие от линейного оператора который оторажает в линейное пространство). То есть, если я читаю книгу в которой тензор определяется через полилинейную форму, и далее из этого утверждения выводится вся алгебра тензоров, эта алгебра тензоров верна лишь для части тензоров?

[arseniiv]

illuminates в сообщении #1001854 писал(а):

Так, линейный оператор является тензором, но не является полилинейной формой

Эко вас в линейные операторы понесло. Вектор — обычнейший контравариантный вектор — и тот не полилинейная форма! Это вообще даже не функция.

Можете написать сейчас в теме связанное определение? Увидим, где и как телефон испортился.

[type2b]

Пусть $V$ -- векторное пространство, а $V^*$ -- его дуальное, т.е. имеется каноническое билинейное спаривание между элементами $V$ и $V^*$. Тензорами обычно называют элементы $V\otimes V\otimes\dots\otimes V^*\otimes\dots V^*$. Если в $V$ и $V^*$ выбраны дуальные базисы, то тензор соответственно в координатах будет выглядеть как $T^{i_1,\dots}_{j_1,\dots}$, где верхние и нижние индексы относятся к $V$ и $V^*$, соответственно. (Вообще, смысл деления индексов на верхние и нижние в том, что по парам их можно сворачивать, т.е. они относятся к дуальным пространствам.)

Если есть тензор с одними нижними индексами, то он элемент $V^*\otimes\dots V^*$, т.е. полилинейная форма на $V$. Но тензоры с и верхними, и нижними индексами тоже можно рассматривать как полилинейные формы, только на $V^*\otimes\dots V\otimes\dots$, т.к. элементы $V$ есть линейные формы на $V^*$. Заметим, в частности, что линейный оператор $V\rightarrow V$ можно эквивалентно рассматривать как вектор из $V\otimes V^*$, или же билинейную форму на $V^*\otimes V$.

Если на $V$ задано невырожденное скалярное произведение, то $V$ и $V^*$ можно с помощью него отождествить. Тогда можно не различать верхние и нижние индексы.

[Munin]

illuminates в сообщении #1001854 писал(а):

То есть, если я читаю книгу в которой тензор определяется через полилинейную форму

Назовите эту книгу. Ответы могут быть самыми разными: от "так тоже можно" до "выбросите этот мусор" и до "вы ничего не поняли".

[мат-ламер]

illuminates в сообщении #1001854 писал(а):

Так, линейный оператор является тензором, но не является полилинейной формой

А с помощью линейного оператора можно построить билинейную форму.

[patzer2097]

мат-ламер в сообщении #1002079 писал(а):

А с помощью линейного оператора можно построить билинейную форму.

...если уже есть какая-нибудь другая билинейная форма?

[мат-ламер]

patzer2097 в сообщении #1002095 писал(а):

...если уже есть какая-нибудь другая билинейная форма?

$(f,x)=f(x)$, где $x$ принадлежит основному пространству, a $f$ сопряжённому.

-- Чт апр 09, 2015 22:56:48 --

мат-ламер в сообщении #1002079 писал(а):

А с помощью линейного оператора можно построить билинейную форму.

$(f,Ax)$.

[patzer2097]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1002100 писал(а):

$x$ принадлежит основному пространству, a $f$ сопряжённому.

$(f,Ax)$.

Вы называете ЭТО билинейной формой? OK, пусть так

[AGu]

(Оффтоп)

patzer2097 в сообщении #1002103 писал(а):

мат-ламер в сообщении #1002100 писал(а):

$(f,Ax)$.

Вы называете ЭТО билинейной формой?

Порой широкий взгляд на вещи способен расширить кругозор.
Чаще такого рода штуку кличут билинейным функционалом, но и билинейной формой нет-нет да и назовут.
Ну а если без экстремизма, то более спокойно выглядит пример $\langle x,Ay\rangle$, где $A\colon V\to V^*$.
(Вы и так знали эти банальности? Тогда это я не Вам.)

patzer2097 в сообщении #1002103 писал(а):

OK, пусть так

Вот это я понимаю, это правильный подход к дискуссии.

[patzer2097]

(AGu)

AGu в сообщении #1002227 писал(а):

более спокойно выглядит пример $\langle x,Ay\rangle$, где $A\colon V\to V^*$

А что этот пример показывает, не поясните?

[illuminates]

arseniiv
Определение полилинейной формы: $L^* \times ... \times L^* \times L \times ... \times L \rightarrow K$

type2b
Погодите. А $V\otimes V\otimes\dots\otimes V^*\otimes\dots V^*$ и $V^*\otimes\dots V\otimes\dots$ это разные вещи что ли?
Правильно ли я понял, что линейный оператор по вашему это $V\otimes V^*:V\rightarrow V$? А можно поподробнее?

Munin
А. Н. Остыловский http://elib.sfu-kras.ru/bitstream/2311/1423/1/up_tensor.pdf.
Страница 24 последнее предложение.

мат-ламер в сообщении #1002079 писал(а):

А с помощью линейного оператора можно построить билинейную форму.

А как не подскажите? Для меня билиейная форма это: $L\times L \rightarrow K$ + линейность отображения по каждому аргументу.

[AGu]

(Оффтоп)

Я отправил нижеследующее напрямую patzer2097 через ЛС, но, как вижу, есть смысл продублировать тут.

patzer2097 в сообщении #1002304 писал(а):

AGu в сообщении #1002227 писал(а):

более спокойно выглядит пример $\langle x,Ay\rangle$, где $A\colon V\to V^*$

А что этот пример показывает, не поясните?

Не знаю. Ничего он не показывает. Я просто оффтопил, даже особо не вчитываясь в тему. Виноват, если что.

Мне показалось, что Вам не очень понравился пример мат-ламер'а, так как там «билинейная форма» определена не на $V\times V$, а на $V^*\times V$. Ну вот и намекнул (скорее всего, не Вам ), что билинейные функционалы (в том числе, определенные на $V^*\times V$) иногда тоже называют билинейными формами. Ну а мой пример показывает, к примеру, что с помощью линейного оператора $A\colon V\to V^*$ можно естественным образом определить билинейную форму на $V\times V$ — уже «честную». Простите, если выпал из контекста.

[Munin]

Munin в сообщении #1001980 писал(а):

Назовите эту книгу. Ответы могут быть самыми разными: от "так тоже можно" до "выбросите этот мусор" и до "вы ничего не поняли".

Я запутался, и был неправ.

[мат-ламер]

illuminates в сообщении #1002340 писал(а):

Для меня билиейная форма это: $L\times L \rightarrow K$

А что насчёт билинейной формы $L^*\times L \rightarrow K$ , определённой формулой $(f,x)=f(Ax)$ ?

[illuminates]

Давайте ещё раз. Кто ни будь может объяснить, как линейный оператор $V\rightarrow V$ можно эквивалентно рассматривать как вектор из $V\otimes V^*$, или же билинейную форму на $V^*\otimes V$.?