Квотиэнциальный анализ.

[Stanislav30]

Здравствуйте!

В других ветках этого раздела обсуждался ряд арифметических операций и попытки его обобщения, то есть вывод правил для операций, в некотором специальном смысле предшествующих сложению с вычитанием или, наоборот, следующих за возведением в степень. Вот ссылка на одну из таких тем:
post997188.html#p997188

В том числе, могу рекомендовать книгу В.В. Шустова: http://www.vixri.com/d3/Shustov%20V.V.% ... ojstva.pdf
и статью Рубцова: http://www.geocities.ws/rubcov/russia/01.htm.

Кроме того, несмотря на специфичность сайта и манеры изложения, терпеливым рекомендую книгу http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/013a/2124-kt1.pdf.
В этой последней книге, как раз, предложен "мультипликативный анализ", который строится следующим образом.

Рассмотрим переменную $x$, ее малое конечное приращение $\Delta x$ и приращенное значение $x' = x+\Delta x$.
Рассмотрим соотношение
$\frac{x'}{x}=\frac{x+\Delta x}{x}=1+\frac{\Delta x}{x}$.
Обозначим его, например, как
$\gamma x=1+\frac{\Delta x}{x}$.
По-видимому, $\gamma x \to 1+0$ при $\Delta x \to 0+0$.
Бесконечно малому приращению $dx$ переменной $x$ будет соответствовать значение $\gamma x$, отличающееся от $1$ на бесконечно малую же величину; введем обозначение
$qx\equiv 1+\frac{dx}{x}$
и назовем ее квотиэнциалом, от англ. quotient - частное, по аналогии с названием "дифференциал".
Теперь рассмотрим квотиэнциал $qf(x)$ функции $f(x)$:
$qf(x)\equiv \frac{f(x+dx)}{f(x)}=\frac{f(x)+df(x)}{f(x)}=1+\frac{df(x)}{f(x)}$.
Чтобы количественно охарактеризовать связь между квотиэнциалами самой функции и ее аргумента, использовать операцию деления бесполезно, поскольку предел отношения квотиэнциалов всегда будет стремиться к $1$.
Однако можно использовать логарифмирование и ввести понятие квотиэнциальной производной от функции: по определению,

$Q_x f(x) \equiv \lim\limits_{\Delta x \to 0+0} \log_{\gamma x}{\gamma f(x)}$.

Используя разложение экспоненциальной функции $e^{g(f)} = e^{\ln \left\lvert f \right\rvert}$ в ряд Тейлора в окрестности точки $g(f) = 0$, получаем, что

$e^\frac{df}{f} = 1+\frac{df}{f}$,
или

$e^{df} = {(qf)}^f$,

что справедливо как для независимой переменной $f$, так и для функции $f(x)$.

Возвращаясь к квотиэнциальной производной, получаем следующее выражение:

$Q_x f(x) = \log_{qx} {qf}=\log_{e^{\frac{dx}{x}}} {e^{\frac{df(x)}{f(x)}}}=\frac {x}{f(x)} \frac{df(x)}{dx}$.

Конечно же, его вывод нестрогий и построен на прямом использовании дифференциальных записей, без предельного перехода. При этом отбрасывались величины второго и высших порядков малости.

Разумеется, область применимости такого исчисления не совпадает с таковой для дифференцирования.

Я почти не занимался строгим обоснованием квотиэнциального исчисления и разработкой его приложений. Здесь только могу отметить, что аналогичным образом могут быть построены и другие системы анализа, по одной на основе каждой обратной арифметической операции: для вычитания - диффенциальный анализ, для деления - этот квотиэнциальный анализ; для возведения в степень, в силу его некоммутативности, возможны уже две ветви анализа, построенные на операциях логарифмирования и извлечения корня, и так далее.

По-видимому, после корректного определения операции, предшествующей сложению, и потом - обратной к ней, возможным станет рассмотреть аналогичное исчисление и для нее, и так далее.

Видим следующее.

Возьмем ряд арифметических операций, условно "направленный" от сложения к возведению в степень. По-видимому, по тому же принципу, по которому определены умножение - через сложение и возведение в степень - через умножение, можно построить и операции, следующие и предыдущие в этом ряду. (При этом желательно стремиться к достижению максимально полной аналогии между свойствами всех этих новых операций. Например, для них всех ассоциативность и коммутативность не могут быть обеспечены, но возможны законы дистрибутивности и непрерывная и плавная зависимость результата от каждого операнда.)

Далее, при введении каждой такой операции, вместе с ней определяется и обратная к ней, что приводит к соответствующему доопределению множества чисел или к новой бинарной классификации уже имеющихся. На этой основе может быть развита и соответствующая форма анализа функций: дифференциальная, квотиэнциальная, и так далее.

[chilly]

Ничем не отличается от обычного дифференцирования. Кроме того, конечно, что вводится пара лишних взаимно компенсирующих операций.

[AGu]

(Оффтоп)

chilly в сообщении #1002089 писал(а):

вводится пара лишних взаимно компенсирующих операций.

А по мне так ничего, симпатично. Инь-янь опять же уравновешены, фэншую приятно.

[dsge]

В экономике такой подход давно известет и зовётся лог-линеаризация (log-linearization). В отличии от стандартного анализа, здесь отклонения (приращения) процентные, а не абсолютные.
Здесь пример использования в экономике (стр. 4-6):
http://edoc.hu-berlin.de/series/sfb-649-papers/2006-30/PDF/30.pdf

[Stanislav30]

chilly в сообщении #1002089 писал(а):

Ничем не отличается от обычного дифференцирования. Кроме того, конечно, что вводится пара лишних взаимно компенсирующих операций.

Объясните, пожалуйста, о какой взаимной компенсации Вы говорите?

[shwedka]

Цитата:

Теперь рассмотрим квотиэнциал $qf(x)$ функции $f(x)$:
$qf(x)\equiv \frac{f(x+dx)}{f(x)}=\frac{f(x)+df(x)}{f(x)}=1+\frac{df(x)}{f(x)}$.

To есть, в точке, где функция имеет нулевое значение, Ваша конструкция не работает.
Плохо!

[dsge]

В нуле Вы и процент не подсчитаете. Это плохо или хорошо?

[chilly]

Stanislav30 в сообщении #1002620 писал(а):

chilly в сообщении #1002089 писал(а):

Ничем не отличается от обычного дифференцирования. Кроме того, конечно, что вводится пара лишних взаимно компенсирующих операций.

Объясните, пожалуйста, о какой взаимной компенсации Вы говорите?

в конце вместо производной функции по аргументу вы пишете производную логарифма функции по логарифму аргумента. Это обычное дифференцирование, с точностью до замены переменных.

[Stanislav30]

shwedka в сообщении #1002668 писал(а):

Цитата:

Теперь рассмотрим квотиэнциал $qf(x)$ функции $f(x)$:
$qf(x)\equiv \frac{f(x+dx)}{f(x)}=\frac{f(x)+df(x)}{f(x)}=1+\frac{df(x)}{f(x)}$.

To есть, в точке, где функция имеет нулевое значение, Ваша конструкция не работает.
Плохо!

С одной стороны, это плохо. С другой стороны, это - свойство такой конструкции.
В общем, ведь при любом принципе анализа локального поведения функции неизбежны особые точки. При дифференцировании это разрывы 1-го и 2-го родов, а при этом анализе - это нулевое значение функции.

-- 15.04.2015, 01:00 --

chilly в сообщении #1002807 писал(а):

Stanislav30 в сообщении #1002620 писал(а):

chilly в сообщении #1002089 писал(а):

Ничем не отличается от обычного дифференцирования. Кроме того, конечно, что вводится пара лишних взаимно компенсирующих операций.

Объясните, пожалуйста, о какой взаимной компенсации Вы говорите?

в конце вместо производной функции по аргументу вы пишете производную логарифма функции по логарифму аргумента. Это обычное дифференцирование, с точностью до замены переменных.

Конечно: формально, здесь ничего особенного. Интересно только, что это получено (здесь - нестрого) формально из дифференцирования путем сдвига рангов операций на единицу в большую сторону. Плюс иное психологическое наполнение, по сравнению с дифференциованием.