2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неассоциативность операции
Сообщение07.02.2008, 13:18 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Такой вопрос возник - бывают ли неассоциативные операции вообще? Речь идёт о семантике, а не синтаксисе. Вот, рассмотрим, например, вычитание на целых числах $Z$. Оно неассоциативно и не выводит за пределы $Z$, то есть является отображением $Z$ в $Z$. С другой стороны, рассмотрим симметрическую полугруппу $F$ всех возможных отображений над $Z$. В ней, очевидно, найдутся элементы, соответствующие операции вычитания (поскольку в $F$ по определению есть все возможные отображения). Но суперпозиция отображений ассоциативна, следовательно ассоциативными должны быть и все возможные операции на $Z$...

То есть, можно ли утверждать, что выражение $5 - 3 - 2 \ne 5 - (3 - 2)$ возникает только из-за синтаксиса? Ведь мы можем записать его как $5 + (-3) + (-2) = 5 + ((-3) + (-2))$, превратив в равенство.

Иначе говоря - бывают ли группоиды, кроме полугрупп?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:08 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Хммм.
AlexDem писал(а):
рассмотрим симметрическую полугруппу $F$ всех возможных отображений над $Z$.
В смысле отображения из $Z$ в $Z$? Но ведь вычитание не является таким отображением. Оно является отображением из $Z\times Z$ в $Z$.

Или я сильно не въехал?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:16 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Почему? Можно взять элемент вместе с операцией, скажем, "+1", и ему будет соответствовать отображение $Z$ в $Z$ - сдвиг элементов вправо на единицу. Другому элементу с этой операцией будет также соответствовать отображение (сдвиг на другое число элементов). Если свести всё это в таблицу Кэли (в случае конечного $Z$), то по-моему, получится та же таблица, что и при записи $Z \times Z \to Z$. Но мой способ записи мне как-то интуитивно понятней.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:30 
Экс-модератор


17/06/06
5004
AlexDem писал(а):
бывают ли группоиды, кроме полугрупп?
Неассоциативный группоид можно соорудить даже на двухэлементном множестве $\{0,1\}$, скажем, так:
$1*1=0$,
$1*0=1$,
$0*1=0$,
$0*0$ - не важно, потому что уже имеем
$$(1*1)*1=0*1=0$$, но
$$1*(1*1)=1*0=1$$.

Добавлено спустя 45 секунд:

Все-таки в чем заключается мысль с синтаксисом?

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

Знаете, что мне кажется? Ваши рассуждения правильны, если есть единица, нейтральный элемент. Тогда любое произведение $x*y*z$ можно представить как $e*x*y*z$, то есть как композицию отображений, примененную к единице. А если единицы нету, то ...

Хотя нет, бред пишу. В моём примере ведь можно сделать нолик правой единицей.

Добавлено спустя 4 минуты 20 секунд:

То есть вопрос вот в чём: почему $x*y$ будет произведением отображений "умножение слева на $x$" и "умножение слева на $y$"? Это в точности означает, что $(x*y)*z=x*(y*z)$, то есть как раз ассоциативность!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
AlexDem писал(а):
Такой вопрос возник - бывают ли неассоциативные операции вообще?


А как понимать слово "вообще"? Вам подойдёт умножение матриц $A \cdot B \ne B \cdot A$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:37 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Capella, Это у вас некоммутативность :? Умножение матриц ассоциативно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:40 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
AD писал(а):
Все-таки в чем заключается мысль с синтаксисом?

Ща, не торопите, разберу сперва не спеша Ваш пример...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Да, ассоциативность $x* (y * z) = (x*y)*z$, но разве все матрицы ассоциативны?

Дело вот в чём, я могу принять $z=1$ вообюще скалар или однодименсиональная матрица и что будет?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 14:47 
Экс-модератор


17/06/06
5004
То есть, если я все правильно понимаю, ответ - в последних моих двух строчках. Соответствие, сопоставляющее каждому элементу операцию (левого) умножения на него, будет гомоморфизмом тогда и только тогда, когда наш группоид - полугруппа. :o

Добавлено спустя 1 минуту 50 секунд:

Capella писал(а):
Да, ассоциативность $x* (y * z) = (x*y)*z$, но разве все матрицы ассоциативны?
Произведение любых (даже прямоугольных) матриц (над полем) как раз уж точно ассоциативно, потому что каждой матрице изоморфно соответствует линейный оператор, а композиция отображений ассоциативна. Впрочем, можно и "в лоб" доказать.

Добавлено спустя 3 минуты:

Capella писал(а):
однодименсиональная матрица
Го-во-ри-те по-че-ло-ве-чес-ки! :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
AD

Как третью матрицу можно всегда взять единичную матрицу

Дело в другом, насколько я помню ещё из курса Алгебры (сорри, могу ошибаться :) ), то матрицы не образуют кольцо, а только группу (гр операцию можно взять сложение) - из-за операции умножения. Поправьте, если не права.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:07 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Че-то вы сильно не правы, Capella.

Во-первых, рассуждение с единичной матрицей категорически не понимаю. В законе коммутативности порядок множителей разный, а в законе ассоциативности - только расстановка скобок разные, а порядок множителей одинаковый. Один с другим никак не связаны, и подстановкой единицы они друг к другу не сводятся.

Во-вторых, матрицы над полем образуют кольцо. И даже алгебру над этим полем. Конечно, матрицы над неассоциативным кольцом и сами окажутся неассоциативными. Но вот AlexDem в этой теме усомнился в существовании неассоциативных операций вообще, и уж тем более неассоциативных колец, поэтому этот пример не годится.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/10/05
1142
Да, я на википедии тоже уже прочитала. Оказалось уже забыла всё. :roll: Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:14 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Ничего, форум для того и нужен, чтобы напоминать заглядывать иногда в википедию ))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 15:57 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
В общем, мысль с синтаксисом заключалась в том, что не каждое обозначение можно считать операцией. В том смысле, что неассоциативность возникает только потому, что мы обратный элемент превращаем в прямой, а его формальное обозначение (знак минус) принимаем за знак операции только в силу совпадения формальных обозначений операции и символа обратного элемента.

По-моему, Ваш пример противоречив (с той позиции, с которой я подхожу). Запишу соответствующие ему перестановки:
$$0 = \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$
$$1 = \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$
То есть, как и договаривались, элемент "0" является единицей, а элемент "1" превращает любой элемент в элемент "0".

Но если мы теперь запишем суперпозицию подстановок, то получим:
0*0 = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$*$$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$ = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$ = 0
1*0 = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$*$$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$ = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$ = 1
0*1 = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$*$$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$ = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$ = 1
1*1 = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$*$$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$ = $$\left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$ = 1
То есть, совершенно иной результат. Хотя таблица Кэли для данного примера существует и имеет вид (здесь первый аргумент это столбец, второй - строка):
$$K = \left(\begin{array}{cc}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)$$

Добавлено спустя 16 минут 7 секунд:

А, мысль возникла - что если мы вместо суперпозиции введём на $F$ другую операцию? Тогда, может оказаться, что наш неассоциативный группоид будет изоморфен подгруппоиду такого $F$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.02.2008, 16:04 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Какого х... вся эта х.... делает в разделе "помогите решить/разобраться"?! В дискуссионные её, там ферматикам раздолье.

Хоть бы поумнее что-нибудь придумали!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 45 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group