Задача по теории рассеяния

[Kirill_Sal]

Задавая масштаб $E$ мы никак не меняет величину с.з.?
Тогда вообще не понятно, что искать в этой задаче. Просто нет падения на центр и все. Ничего хитрого я тут не вижу, по-крайней мере пока не вижу.
Наверное, тут не хватает господина Munin'a)

[Kirill_Sal]

Red_Herring в сообщении #1000305 писал(а):

Заметим, что избавление от $b$ (т.е. $b\mapsto 1$ через замену переменных) означает что $k\mapsto k/b$ (т.е. становится малым).

Но, опять таки: отрицательные собственные значения появляются не сразу, а только при $a> c_0$. Чтобы разобраться подробнее, заметим, что сначала при увеличении $a$ от $0$ появятся с.з. соответствующие $l=0$ (для $U_0=a/r^2$ они появятся при $а> 1/4$, a другие—при $a>l^2+1/4$). Но согласно принципу Бирмана-Швингера число таких с.з. равно числу с.з. $\alpha$:

$$ -\Delta u = \alpha /(1+r^2)u $$

с $\alpha \in (0,a)$. В сферических координатах ($l=0$)

$$ -v'' = \alpha /(1+r^2)v. $$

Тут надо еще использовать якобиан замены. Теперь, вводя $r=e^t$ получим

$$ -( e^{-t} v' )'= \alpha e^t /(1+e^{2t})v $$

или подставляя $v=e^{t/2}w$

$$ - w'' +\frac{1}[4}w= \alpha w (1+e^{-t}). $$

И теперь ясно, что таких с.з. с $\alpha \le 1/4$ нет вообще, а с $\alpha \in (1/4,1/4+\delta)$ их бесконечно много.

Вот такой вопрос: допустим, я нашел амплитуду для случая

$a<1/4$

и рассматриваю ее отображение ("график" - вроде жаргон в ТФКП) на плоскость комплексной переменной $E$. Теперь двигаю значение параметра $a$ и получаю семейство отображений. При

$a<1/4$

полюсов нет, а при

$a>1/4$

их бесконечно много. Амплитуда при этом является дискретной функцией слева от мнимой оси, определенной только в полюсах. Задавать такое семейство отображений это корректный анализ?

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1001041 писал(а):

Амплитуда при этом является дискретной функцией слева от мнимой оси

Это - загадочная фраза.

Kirill_Sal в сообщении #1001041 писал(а):

При $a<1/4$ полюсов нет, а при $a>1/4$ их бесконечно много.

Пример такой функции на вещественной оси:

$$\frac{1}{\cos\left(x\sqrt{a-\frac{1}{4}}}\right)$$

[Kirill_Sal]

Ну она определена только в полюсах при $a>1/4$.
Вопрос в принципиальной корректности такого анализа семейства отображений.

[amon]

К сожалению, мне придется исчезнуть на пару дней. Почитайте третью главу книжки Базь, Зельдович, Переломов. Рассеяния и распады в нерелятивистской чего-то там. Вашей задачи там нет, но ясность с аналитическими свойствами должна наступить, а то я Ваших вопросов боюсь.

[Kirill_Sal]

Спасибо! Я совершенно не знал, что читать по этой теме.