Задача по теории рассеяния

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000522 писал(а):

Ответьте, пожалуйста, ответом.

Расходимость полного сечения означает неприменимость Борновского приближения и ошибочность всех полученных в этом приближении ответов.

[Kirill_Sal]

Вопрос был, что Вы тогда скажете о точном решение задачи в поле $1/r^2$.
Любая теория - это приближение. Исходя из Вашей логики можно сказать, что для поля $1/r^2$ неприменима квантовая механика.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000526 писал(а):

Исходя из Вашей логики можно сказать, что для поля $1/r^2$ неприменима квантовая механика.

Еще раз. Сечение имеет право обращаться в бесконечность, и основы основ от этого не страдают. Однако, если такая неприятность случилась, как это случается с кулоном, то это значит, что некоторые любимые всеми методы решения задач перестают работать. Наверняка не работает в этом случае Борновское приближение, тут уж Вы нам (не мне одному) поверьте. Для Кулона не работает и квазиклассика. Для Вашего потенциала это не так, и можно попробовать ее. А вообще, как я понял, у Вас задача не сечение найти, а аналитические свойства амплитуды исследовать. Для этого можно поизучать спектр задачи и по нему построить особенности амплитуды рассеяния. Это может оказаться проще, поскольку можно использовать могучий аппарат спектральной теории. Все IMHO.

[sergei1961]

Для радиальных. Уравнение

$$ (x^2-1)y''=\lambda y $$

вроде решается явно через функции Лежандра. При чисто мнимых $x$ отсюда не получим явного решения, а из него и спектр, и асимптотики, для Лежандров вроде всё известно? Хочется как-то попроще, хотя, понимаю, это не всегда возможно...

[Kirill_Sal]

Спектральную теорию я не знаю. Мне вообще сказали, что она тут не нужна. Повторю предысторию. Мне нужно решить задачу приближенно для какого-то частного случая, который позволит понять общую физическую физическую картину. Ключ кроется в ограниченности оператора в отличие от случая $a/r^2$, в котором тоже присутствуют аномалии, кроме бесконечности сечения. Эту задачу я решал. Но для $a/(r^2+b^2)$ мне пообещали еще более вкусные вещи. Вот я и ломаю голову.

-- 05.04.2015, 16:17 --

sergei1961
Насчет Лежандра я сомневаюсь

[Red_Herring]

amon в сообщении #1000533 писал(а):

Для Кулона не работает и квазиклассика.

Это зависит от задачи. Например, если Вы хотите посчитать асимптотику с.з. накапливающихся к $-0$, то квазиклассика для Кулона работает—а не работает как раз для $a/r^2$. С Кулоном другое: нет стандартных волновых операторов (нужны модифицированные).

[sergei1961]

Решение того уравнения, которое я выше написал, есть в справочнике Зайцев, Полянин по ОДУ. Остальное-не знаю.
Если нужно интегральное представление для решения в виде интеграла $\int_x^{\infty}$ с некоторым ядром, для которого известно явное интегральное уравнение и достаточно точные оценки-то можно воспользоваться теорией операторов преобразования для уравнения Штурма-Лиувилля, в физике это стало как-то по своему называться. Для радиального случая с $n\ge 3$ такие представления тоже есть. Не знаю, нужно ли Вам всё это.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000540 писал(а):

Спектральную теорию я не знаю. Мне вообще сказали, что она тут не нужна.

А про единственное с.з. Вам тоже сказали?

[amon]

sergei1961 в сообщении #1000536 писал(а):

$$ (x^2-1)y''=\lambda y $$

Действительно, решается через присоединенные функции Лежандра, но это уравнение с $l=0$, а основной вклад, вроде бы, дают ненулевые $l$.
Kirill_Sal, квазиклассику попробуйте. Кроме того, из предыдущего рассмотрения понятно, что какая-то беда с амплитудой случится, когда $a$ пересекает $-1/4$.

[Kirill_Sal]

Red_Herring
Нет. Это я напридумывал.

-- 05.04.2015, 16:39 --

amon
По поводу квазиклассики см. Ваши предыдущие рассуждения и задачу 1 к &127 ЛЛ.

[amon]

(Оффтоп)

Red_Herring в сообщении #1000542 писал(а):

Это зависит от задачи.

Когда-то покойный Друкарев рассказывал нам, что Кулоновский потенциал - это такая подстава господа бога, для него все надо решать точно, но, когда решишь, ответ совпадет с классическим. Только поэтому Резерфорд и сумел построить планетарную модель.

-- 05.04.2015, 16:54 --

Kirill_Sal в сообщении #1000547 писал(а):

По поводу квазиклассики см. Ваши предыдущие рассуждения и задачу 1 к &127 ЛЛ.

А тут как раз считать надо. Квазиклассика не запрещает сечению обращаться в бесконечность, и падения на центр для Вашего потенциала нет.

[Kirill_Sal]

Перед тем, как считать, надо понять, к чему мы хотим прийти.
Для того, чтобы тут что-то написать, нужно понять, что принципиально изменится, если поле ограничить сверху. Из рассуждений выше мы видим, что с.з.дискретного спектра будут сгущаться к нулю, если $b$ велико. Может быть, к нарушению симметрии надо прибавить возможность резонанса при малых энергиях. При этом резонансные эффекты будут зависеть от величины $b$. Звучит интересно, но что это может значить, я пока не понимаю.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000564 писал(а):

гущаться к нулю, если $b$ велико

Не $b$, а $a$. От $b$ ничего не зависит (кроме шкалы по энергиям)

[Kirill_Sal]

Red_Herring в сообщении #1000312 писал(а):

Kirill_Sal в сообщении #1000310 писал(а):

вернее $n>2$. Дело то оно меняет, то мне нужно исследовать именно гадкий потенциал с $n=2$. Из Ваших выкладок следует, что в этом случае количество уровней или "высота горба" не будет зависеть от величины $b$?

Это просто замена переменных. Но $b$ влияет на величину с.з. : они пропорциональны $b^{-2}$..

Вот про величину с.з.я и говорю. С количеством уже разобрались.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000564 писал(а):

с.з.дискретного спектра будут сгущаться к нулю, если $b$ велико.

Давайте еще раз "с латыни на латинский". Уравнение, определяющее спектр:

$$\frac{d^2\chi}{dr^2}+\left[\left(E-\frac{a}{b^2+r^2}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]\chi=0.$$

Выносим $b^2$ из потенциала, и делаем замену переменных $r/b=y$. Получаем

$$\frac{d^2\chi}{dy^2}+\left[\left(b^2E-\frac{a}{1+y^2}\right)-\frac{l(l+1)}{y^2}\right]\chi=0.$$

Т.е. спектр от $b$ вообще ни как не зависит, $b$ задает лишь масштаб по оси $E$.