Задача по теории рассеяния

[Kirill_Sal]

Red_Herring
Я, к сожалению, в 3 часа ночи не могу понять, что означает то, что Вы написали , но хочу обратить внимание, что в уже упомянутой выше задачи 5 &126 книги ЛЛ во всех полученных формулах для такого же потенциала с $n>2$ присутствует как $a$, так и $b$. В частности, критерий применимости приближения Борна содержит как $a$, так и $b$. С точки зрения математики Вы, конечно, правы, но в физике важно помнить про масштаб.
И речь в ЛЛ шла о потенциале с $n>2$, а у нас $n=2$. Но на наличие дискретных уровней это не влияет, если как Вы правильно заметили, $a>1/4$.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000306 писал(а):

то в уже упомянутой выше задачи 5 &126 книги ЛЛ во всех полученных формулах для такого же потенциала с $n>2$ присутствует как $a$, так и $b$.

А какой там потенциал? $a/(r^2+b^2)^{n/2}$ с $n\ge 3$. Это совершенно меняет дело! Об этом я и писал: достаточно чтобы степень была $r^{-2-\delta}$ и картина резко изменится! При этом и при любом $a$ дискретных уровней будет конечное число, и накапливаться к $-0$ они не будут, и $1/4$ не выскочит при $n=3$.

[Kirill_Sal]

Red_Herring,
вернее $n>2$. Дело то оно меняет, то мне нужно исследовать именно гадкий потенциал с $n=2$. Из Ваших выкладок следует, что в этом случае количество уровней или "высота горба" не будет зависеть от величины $b$? И еще одно замечание чисто методического характера: в этой задаче больше важна именно ограниченность оператора снизу, а не степень. Аналитические свойства амплитуды в поле $1/r^2$ хитрые, но в поле $a/(r^2+b^2)$ они обещают быть существенно хитрее. Пока еще я свято верю в то, что найду тут что-то удивительное

Теперь попробую ответить господину amon (надеюсь, он мне не преподает ).

Борновское приближение справедливо, если

$|U(r)|<<\hbar^2/mr_{0}^2$, где $r_{0}$ - радиус действия поля.

Этот радиус определяется довольно туманно как область, в которой поле заметно отлично от нуля. ОК. Рассмотрим поле

$U(r)=a/(r^2+b^2)$

Мы видим, что $|U(r)|\leq(a/b^2)$. Теперь положим

$b>>1$ , $a\leq{b}$

Можно определить радиус поля как $r_{0}=b$, т.к. поле будет заметно отлично от нуля только в области $r<b$. Для точной применимости приближения Борна тогда необходимо также положить $a<<(2/m)\hbar^2. Остается только видоизменить формулы для этого случая. К счастью, они видимо станут проще.

[Red_Herring]

Kirill_Sal в сообщении #1000310 писал(а):

вернее $n>2$. Дело то оно меняет, то мне нужно исследовать именно гадкий потенциал с $n=2$. Из Ваших выкладок следует, что в этом случае количество уровней или "высота горба" не будет зависеть от величины $b$?

Это просто замена переменных. Но $b$ влияет на величину с.з. : они пропорциональны $b^{-2}$. Если говорить о близкодействующем потенциале s $n>2$ то такая же замена переменных дает оператор $b^{-2}\bigl(-\Delta - ab^{2-n}/(1+r^2)^{n/2}\bigr)$, т.е. избавиться от $b$ можно, но тогда вместо $a$ будет $ab^{2-n}$ и этот параметр будет существенным.

Поле с $n=2$ дальнодействующее, для него радиус $=\infty$.

[Kirill_Sal]

Хм, не знаю. Как тогда точно определить радиус действия? В ЛЛ он вводится туманно и мои рассуждения для случая $b>>1$ мне кажутся разумными.
Может быть, есть смысл пробовать тогда не Борна, а случай частиц с большой полной энергией (скоростью), а потом аналитически продолжать полученную амплитуду на все значения $E$. Надо думать на свежую голову.

-- 05.04.2015, 04:47 --

А что если так?
$|U(r)|<<(1/mr^2)\hbar^2$ для любого $r$, если только $a<<(1/m)\hbar^2$.
Но тогда $a<1/4$ и дискретного уровня, который нам так важен, не будет

[Red_Herring]

Да кто Вам сказал про единственный дискретный? Я же объяснил, что в размерности 3 при $a\le 1/4$ никаких дискретных уровней не будет, а при $a>1/4$ их будет бесконечно много.

Как же определить радиус: смотрите, если у Вас расстояние до $0$ порядка $R\gg b$, то "пространсвенный масштаб" $R$, а "моментный" $R^{-n/2}$ т.е. их произведение $R^{1-n/2}$. При $n>2$ это произведение стремится к $0$ и поле становится несущественным. А при $n=2$ все остается по прежнему, на любых расстояниях мы имеем "самоподобность" и радиус равен $\infty$

[Kirill_Sal]

Я теорию оператор никогда не изучал, поэтому сразу понять Ваши выкладки не могу. Я выскажу свое согласие/несогласие сегодня ближе к вечеру.
Пусть уровней бесконечно много, но сейчас важно понять, как состыковать приближенное решение с малым $a$ и то, что исследовать нам нужно все-таки аналитические свойства в дискретном спектре. Есть только очень туманная мысль посчитать амплитуду в этом частном случае, затем понять, как связано значение $a$ со спектром энергии, а затем аналитически продолжить $f_{0}$ на весь физическим лист, изменяя значение параметра $a$. Туманная идея, но может сработать.

[Red_Herring]

Рассеяние связано не с точечным, а с непрерывным спектром

[Kirill_Sal]

Происходит рассеяние, конечно, в непрерывном спектре.
Но кто отменял такие интересные вещи, как, например, резонансы при малых энергиях?
С появлением дискретных уровней теория рассеяния становится по-настоящему интересной

-- 05.04.2015, 14:19 --

Вообще, есть еще мысль рассмотреть все-таки отрицательные $a$. Возможно, ничего необычного не происходит только потому, что я положил $a>0$.

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000310 писал(а):

Борновское приближение справедливо, если...

На "физическом" уровне строгости Борновское приближение применимо, если рассеяние - малая поправка к свободному движению. Поэтому, если полное сечение в Борновском приближении расходится, то приближение идет в корзину, и надо думать дальше.

Kirill_Sal в сообщении #1000473 писал(а):

Я теорию операторов никогда не изучал...

Попробую перевести "с латыни на латинский". Собственные значения (спектр) задачи определяется уравнением (для $l=0$ и отрицательного $a=-\alpha$)

$$-\chi''-\frac{\alpha}{1+x^2}\chi=E\chi$$

Известно, что число дискретных с.з. такой задачи равно числу корней решения уравнения $-\chi''-\frac{\alpha}{1+x^2}\chi=0$ с начальным условием $\chi(\infty)=\operatorname{const}$. Проделав манипуляции, описанные Red_Herring'ом получим

$$ w'' +\left(\alpha-\frac{1}{4}\right)w= -e^{-t}w. $$

Правая часть убывает при $t\to\infty$, и остается гармонический осциллятор, причем при $\alpha>\frac{1}{4}$ число корней бесконечно, а для $\alpha<\frac{1}{4}$ их вовсе нет. (Если что - знающие поправят).

[Kirill_Sal]

Прошу прощения, но я вынужден задать Вам вопрос: в поле $1/r^2$ сечение бесконечно при точном решение задачи. Это значит, что точные формулы квантовой механики летят в корзину?

[amon]

Kirill_Sal в сообщении #1000509 писал(а):

Это значит, что точные формулы квантовой механики летят в корзину?

amon в сообщении #1000507 писал(а):

приближение идет в корзину

Разницу понимаете?

[Kirill_Sal]

С точки зрения изучения аналитических свойств амплитуды не понимаю. Я вычислил значение парциальной амплитуды в Борне для поля

$U(r)=a/(r^2+b^2)$, где $a<<(1/m)\hbar^2$ , $b>>1$

и с ней никаких аномалий не происходит.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1000507 писал(а):

Если что - знающие поправят).

Все правильно, только при $\alpha=-\frac{1}{4}$ с.з. все еще нет

[Kirill_Sal]

amon
Правы Вы или нет, но на мой вопрос Вы ответили вопросом. Ответьте, пожалуйста, ответом.