Коэрцитивная функция

[Ward]

Здравствуйте!

Определение: Функция $f$, заданная на открытом множестве $G\subset \mathbb{R}^d$ называется коэрцитивной, если она непрерывна и $f(x)\to +\infty$ при $dist(x, \partial G)\to 0$ и при $x\to \infty$.
Лемма: Коэрцитивная функция достигает на G своего наименьшего значения.
Доказательство: Пусть $z\in G$ - произвольная точка. Для данного $\varepsilon>0$ положим $G_{\varepsilon}=\{x\in G: dist(x, \partial G) \geqslant \varepsilon, |x|\leqslant 1/\varepsilon\}$. Так как $f$ - коэрцитивна, то $\inf_{x\in G \backslash G_{\varepsilon}} f(x)\to +\infty$ при $\varepsilon\to 0$. Поэтому при достаточно малых $\varepsilon>0$ имеем $f(x)>f(z)$ для всех $x\in G\backslash G_{\varepsilon}$. Следовательно, $\inf_{x\in G}f(x)=\inf_{x\in G\backslash G_{\varepsilon}}}f(x),$ а последний инфимум достигается, поскольку $G_{\varepsilon}$ - компакт.

Возникают такие вопросы. Начну с первого:
Почему $\inf_{x\in G \backslash G_{\varepsilon}} f(x)\to +\infty$ при $\varepsilon\to 0$

[Otta]

Ну это фактически по-другому переписанное определение

Ward в сообщении #1000383 писал(а):

$f(x)\to +\infty$ при $dist(x, \partial G)\to 0$ и при $x\to \infty$.

при условии $x\in G$.

[Ward]

Otta я так не думаю.
Понятно, что множество $G \backslash G_{\varepsilon}$ состоит из элементов множества $G$ таких, что $dist(x,\partial G)<\varepsilon$ или $|x|>1/{\varepsilon}$.
Но как отсюда получается, что $\varepsilon\to 0$ данный инфимум стремится к бесконечности?

[Otta]

Вы их запишите аккуратно, определения, начиная с

Ward в сообщении #1000383 писал(а):

$f(x)\to +\infty$ при $dist(x, \partial G)\to 0$

и тогда, может, и прояснится что.

[Ward]

Otta
Я не вижу связи.
Ну получается вот что: $f(x)\to +\infty$ при $\inf_{a\in \partial G}\rho(x,a)\to 0$.
Но ведь тут не фигурирует $G_{\varepsilon}$?
Что-то я не въезжаю

[Otta]

Не-не, Вы аккуратно, в кванторах. Можно и не расшифровывая расстояние от точки до границы.

[Ward]

Otta
Утверждение $f(x)\to \infty$ при $dist(x, \partial G)\to 0$ запишем в кванторах.
$\forall \varepsilon>0$ $\exists C>0$: $dist(x, \partial G)<\varepsilon$ верно $f(x)>C$

[Otta]

Ну вот те здрасьте.

[Ward]

Otta
т.е. неправильно?

[Otta]

Ну конечно, неправильно.

[Ward]

Вроде осознал.
Для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что для всякого $x$, такого что $dist(x,\partial G)<\delta$ верно $f(x)>\varepsilon$

[Otta]

Так верно, да. Ну по-хорошему, $0<dist(x,\partial G)<\delta$, но неравенство нулю и без того обеспечено.

[Ward]

Для любого $\varepsilon>0$ найдется $\delta>0$ такое, что для $x\in G \backslash G_{\varepsilon}$ верно $f(x)>\varepsilon$
Как я понимаю отсюда получается, что $\inf_{x\in G \backslash G_{\varepsilon}}f(x)\geqslant \varepsilon$.
Отсюда снова по определению предела получается, что $\inf_{x\in G \backslash G_{\varepsilon}}f(x)\to +\infty$
я правильно понимаю?

[Otta]

Ward в сообщении #1000461 писал(а):

найдется $\delta>0$ такое, что для $x\in G \backslash G_{\varepsilon}$

А если внимательней?

Ward в сообщении #1000461 писал(а):

я правильно понимаю?

Почти. Если Вы напишете определение этого предела

Ward в сообщении #1000383 писал(а):

$\inf_{x\in G \backslash G_{\varepsilon}} f(x)\to +\infty$ при $\varepsilon\to 0$.

и сравните, увидите, в чем разница. Она легко устранима.

[Ward]

Да извините пожалуйста. Там $G_{\delta}$.
Вроде с этим вопросом разобрались?

-- 05.04.2015, 14:27 --

Разрешите пожалуйста спросить еще такой вопрос:
Берут ведь произвольную точку $z\in G$. Как получают, что $f(x)>f(z)$ для всех $x\in G\backslash G_{\varepsilon}$ при достаточно малых $\varepsilon$