Число представлений

[Юстас]

Пусть задано число $N=p_1^{\alpha_1} \ldots p_n^{\alpha_n}$. Что можно сказать о количестве различных представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей? О количестве представлений в виде четного числа различных сомножителей?

[maxal]

Юстас писал(а):

Пусть задано число $N=p_1^{\alpha_1} \ldots p_n^{\alpha_n}$. Что можно сказать о количестве различных представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей?

Определим функцию логарифма по основанию $(p_1,\dots,p_n)$:
$\ell(N)=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$
Определим также возведение вектора $x=(x_1,\dots,x_n)$ в векторную степень:
$x^{(\alpha_1,\dots,\alpha_n)} = x_1^{\alpha_1} \cdot\dots\cdot x_n^{\alpha_n}$.

Тогда количество различных (неупорядоченных) представлений $N$ в виде произведения попарно неравных сомножителей равно коэффициенту при $x^{\ell(N)}$ в

$$\prod_{d|N} (1 + x^{\ell(d)})$$

.

[Руст]

Но это просто ничего не дающая переформулировка задачи.
К сожалению условие "неравных сомножителей" делает эту функцию не мультипликативной. Поэтому, возможно не существует хорошей формулы для выражения этой величины.

[maxal]

Вот еще производящая функция Дирихле:

$$\prod_{n=2}^{\infty} (1+\frac{1}{n^s})$$

и такая ссылка по теме: http://mathworld.wolfram.com/UnorderedF ... ation.html плюс последовательность A045778.

В качестве задачки предлагаю дать в явном виде выражение для количества таких представлений для $N=6^n$, $N=20^n$ и $N=30^n$ как функции от $n$.