Объясните, пожалуйста, суть парадокса квантовой запутанности

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #999147 писал(а):

Вообще-то я и arseniiv привели разные аргументы, хорошо бы на них и отвечать по отдельности.

"Спутанное" сообщение поправил.
Отрезанный кусок воспроизвожу здесь: возьмём электроны в разных галактиках. Из принципа тождественности действительно будет следовать, что они запутаны? Если так, то было бы интересно посмотреть, как из одного следует другое. Хватило бы ссылки...

[Munin]

chislo_avogadro в сообщении #999156 писал(а):

Отрезанный кусок воспроизвожу здесь: возьмём электроны в разных галактиках. Из принципа тождественности действительно будет следовать, что они запутаны? Если так, то было бы интересно посмотреть, как из одного следует другое. Хватило бы ссылки...

Извольте: Ландау-Лифшиц-третий, глава про тождественные частицы.

Если два электрона рассматривать сами по себе, то их можно положить в состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle.$ Тогда двухчастичное состояние будет $|1\rangle_1\otimes|2\rangle_2.$ Но для тождественных электронов это уже не будет законным состоянием: законное состояние должно подчиняться $\psi=-\psi(1\leftrightarrow 2).$ Тогда с этим состоянием совершают антисимметризацию:

$$\tfrac{\,1}{\!\sqrt{2\,}\,}\bigl(|1\rangle_1\otimes|2\rangle_2-|2\rangle_1\otimes|1\rangle_2\bigr).$$

И такое состояние уже удовлетворяет нужной симметрии, но оно уже, как легко заметить, не факторизуется.

[fizeg]

(Оффтоп)

Ух, сколько написать успели...

Есть важный момент, который я уже хотел упомянуть.

Дело в том, что мы обсуждая спутанные состояния, постоянно оперируем такими вещами, как частица в лаборатории $A$, частица в лаборатории $B$. Статистика для тождественных частиц не требует состояний вида,
$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_1,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,B\rangle_2\pm\vert\sigma_2,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,B\rangle_2\Bigr)$
В действительности она требует состояний
$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_1,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,B\rangle_2\pm\vert\sigma_2,B\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,A\rangle_2\Bigr)$

Если мы возьмем какую-либо наблюдаемые в разных лабораториях, они не должны различать частицы, что получается за счет
$\hat{O}_A=\hat{O}_A^{(1)}\otimes\mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes\hat{O}_A^{(2)},\quad \hat{O}_B=\hat{O}_B^{(1)}\otimes\mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes\hat{O}_B^{(2)}$
их собственные состояния,
$\vert\lambda_A,\lambda_B\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\lambda_A\rangle_1\otimes\vert\lambda_B\rangle_2\pm\vert\lambda_B\rangle_1\otimes\vert\lambda_A\rangle_2\Bigr)$

Но тогда можно получить,
$P(\lambda_A,\lambda_B)=P(\lambda_A)P(\lambda_B)$
т.е. наблюдаемые являются независимыми величинами без какой-либо корреляции.

Поэтому (анти)симметризация состояния для обеспечения правильной статистики не приводит к настоящей спутанности. Спутанное состояние в таком случае это скорее состояние не приводимое к (анти)симметризации факторизуемых.

-- 02.04.2015, 07:37 --

Для измерения спутанности опираются на энтропию подсистем $S=-\operatorname{Tr}(\rho\ln{\rho})$, где $\rho$ - редуцированная матрица плотности для подсистемы. В случае двухкомпонентных систем ввести такую меру просто и прямолинейно - $S_A=S_B$ и эта энтропия для факторизуемого состояния равна нулю (так как для подсистем получается чистое состояние), а для максимально спутанного состояния максимальна (при этом матрица плотности для подсистем оказывается пропорциональна единичной) Многокомпонентные системы ведут себя более хитро

[chislo_avogadro]

Munin в сообщении #999175 писал(а):

Извольте: Ландау-Лифшиц-третий, глава про тождественные частицы.

Если два электрона рассматривать сами по себе, то их можно положить в состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle.$ Тогда двухчастичное состояние будет $|1\rangle_1\otimes|2\rangle_2.$ Но для тождественных электронов это уже не будет законным состоянием: законное состояние должно подчиняться $\psi=-\psi(1\leftrightarrow 2).$ Тогда с этим состоянием совершают антисимметризацию:

$$\tfrac{\,1}{\!\sqrt{2\,}\,}\bigl(|1\rangle_1\otimes|2\rangle_2-|2\rangle_1\otimes|1\rangle_2\bigr).$$

И такое состояние уже удовлетворяет нужной симметрии, но оно уже, как легко заметить, не факторизуется.

Пользуясь этим как леммой, можно доказать интересную вещь. Т е о р е м а. Электрону невозможно приписать никакой определённой волновой функции. Доказательство. Будучи с момента рождения запутанным, электрон является частью системы, образованной всеми электронами вселенной. Волновая функция этой системы нефакторизуема, а значит на волновые функции составных частей не распадается. Ч.т.д.
Где ошибка?

-- 02.04.2015, 22:08 --

Т.е., если постом выше прав fizeg, Ландау-Лифшиц-третий наврал?

[Munin]

fizeg в сообщении #999218 писал(а):

Поэтому (анти)симметризация состояния для обеспечения правильной статистики не приводит к настоящей спутанности. Спутанное состояние в таком случае это скорее состояние не приводимое к (анти)симметризации факторизуемых.

Да.

Это я немножко покривил против истины :-) (Вначале хотел выдвинуть другой тезис, но и он неверен, если столь аккуратно отделять мух от котлет.)

-- 03.04.2015 01:26:56 --

chislo_avogadro в сообщении #999495 писал(а):

Т.е., если постом выше прав fizeg, Ландау-Лифшиц-третий наврал?

Нет, не он, я. А Ландау-Лифшица-третьего почитать всё равно полезно.

[fizeg]

Эх, расписал я ответ подробный, а форум опять не тянет... Попробую все-таки по частям выставить
Опять же, что называть конкретным электроном. Да, пронумерованный электрон оказывается со смешанной матрицей плотности и разбросан по всей вселенной. Но тождественность частиц как раз и состоит в том, что у нас нет никакого способа отделить этот электрон номер 1 от остальных и толк от этой матрицы плотности только философский.

Зато мы можем задаться вопросом об электроне в конкретном классе состояний. Ясно, что формально мы при этом будем говорить обо всех тождественных электронах во вселенной сразу, но попробуем.

-- 03.04.2015, 08:29 --

Т.е. возьмем для примера все то же состояние,
$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_1,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,B\rangle_2-\vert\sigma_2,B\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,A\rangle_2\Bigr)$
и построим редуцированную матрицу плотности для "электрона в лаборатории $A$", не заботясь о том, какой же именно это электрон. Матричные элементы для такой матрицы плотности я возьму в виде,
$\langle\sigma_m\vert\rho_A\vert\sigma_n\rangle= \sum\limits_k\langle\sigma_m,A;\sigma_k,B\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\sigma_n,A;\sigma_k,B\rangle$
где
$\vert\sigma_n,A;\sigma_k,B\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_n,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_k,B\rangle_2-\vert\sigma_k,B\rangle_1\otimes\vert\sigma_n,A\rangle_2\Bigr)$
При этом я получу матрицу плотности чистого состояния! А значит "электрону в лаборатории $A$" можно сопоставить вектор состояния
$\rho_A=\vert\sigma_1\rangle\langle\sigma_1\vert,\Rightarrow \exists \vert\psi_A\rangle=\vert\sigma_1\rangle$

-- 03.04.2015, 08:32 --

В то же время, если взять другое "факторизуемое" состояние, в котором мы поменяли $\sigma_1$ и $\sigma_2$
$\vert\tilde{\psi}\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_2,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,B\rangle_2-\vert\sigma_1,B\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,A\rangle_2\Bigr)$
и рассмотреть на этот раз точно спутанное
$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\psi\rangle+\vert\tilde{\psi}\rangle\Bigr)$
то матрица плотности для "электрона в лаборатории $A$" окажется смешанной, как и полагается подсистеме в спутанном состоянии

Так что если в нужных местах вставлять (анти)симметризации, логика остается примерно такой же

-- 03.04.2015, 08:35 --

Разумеется это опирается на то, что $\langle\psi,A\vert\varphi,B\rangle\simeq 0$

[chislo_avogadro]

fizeg в сообщении #999571 писал(а):

Эх, расписал я ответ подробный, а форум опять не тянет...

Это кажется по поводу моего post999495.html#p999495
В общем, я понял так, что введение "лабораторного" индекса (различение "места") решает дело.
Запутанного состояния:

fizeg в сообщении #999218 писал(а):

Статистика для тождественных частиц не требует состояний вида,
$\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_1,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,B\rangle_2\pm\vert\sigma_2,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,B\rangle_2\Bigr)$

статистика, как я вижу, теперь не то что "не требует", а даже не может использовать, поскольку оно больше не (анти)симметрично по замене индексов частиц $(1,2)$.
А состояние:

fizeg в сообщении #999218 писал(а):

В действительности она требует состояний
$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\sigma_1,A\rangle_1\otimes\vert\sigma_2,B\rangle_2\pm\vert\sigma_2,B\rangle_1\otimes\vert\sigma_1,A\rangle_2\Bigr)$

- симметрично, но в некотором смысле "факторизуемо". Тут верю Вам наслово. Хотя в такой (возможно донельзя) упрощённой записи этого состояния:
$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\uparrow\rangle_{1A}\vert\downarrow\rangle_{2B}\pm\vert\downarrow\rangle_{1B}\vert\uparrow\rangle_{2A}\Bigr)$
его можно, по крайней мере для фермионов, разложить на сомножители:
$\vert\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(\vert\uparrow\rangle_{1A}\pm\vert\downarrow\rangle_{1B}\Bigr)\Bigl(\vert\uparrow\rangle_{2A}+\vert\downarrow\rangle_{2B}\Bigr)$,
если считать, что члены $\vert\uparrow\rangle_{1A}\vert\uparrow\rangle_{2A}$ и $\vert\downarrow\rangle_{1B}\vert\downarrow\rangle_{2B}$ выпадают ввиду принципа запрета.

-- 04.04.2015, 14:13 --

(Оффтоп)

Прошу прощения за примитивизацию! Будь проклят день, когда я на этот форум забрёл

[arseniiv]

(Formulæ.)

Ей-диэдру, ну вы же видите, что \vert с \uparrow и \downarrow неправильно сочетается. Используйте или \lvert, или в скобки стрелку ставьте, чтобы становилась обычным символом.

[chislo_avogadro]

(диэдр?)

Спасибо, учту при случае. А "диэдр" это што, божество такое?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Кому как; в любом случае истоки тут: «Почему Диэдра с большой буквы?».

[chislo_avogadro]

(Оффтоп)

Это самая трудная тема из всех, что тут видел! Разве что "цитатник" :)

[Kosterik]

Разрешите я с коротким вопросиком влезу, воспользуюсь оказией, не буду отдельную тему открывать.
Верно ли я понимаю проявление эффекта с прикладной точки зрения:

допустим я на Е генерю пакеты из четырех спутанных пар, обозначу 0/1 состояние пары
На верхнем рисунке - моя фиксирующая аппаратура (Д, №1) будет показывать мне зеркальное отображение полученных состояний по каналам А и Б, например 1001/0110, 1110/0001 и т.д.
Тогда рис. ниже - кто-то другой (усл. злоумышленник, №2) физически подключился к каналу Б и его фиксирующая аппаратура стала снимать и записывать прочтенные состояния в этом канале, это стало причиной что у меня в коробочке (Д) случилась потеря зеркальности, пропала спутанность, т.е фиксируется сплошной хаос показаний, например 1101/0101, 0000/0100 и т.д. Вот эта потеря зеркальности - для меня тревожный сигнал что кто-то другой помимо меня подключился к линии своей аппаратурой.
Вроде до этого уровня я все верно изложил?
Но мой вопрос даже не совсем об этом, а о более сложном эффекте - если злоумышленник оставит свою коробочку физически подключенной к моей линии, его считывающий сенсор так и продолжает работать в штатном режиме, т.е на физическом уровне никакого изменения в линии не произошло, но злоумышленник просто выключил блок фиксации (записи или он-лайн наблюдения) показаний (т.е никто уже не узнает что считал его сенсор), то у меня эффект зеркальности восстановится, т.е на (Д) опять пойдут зеркальные пакеты 0000/1111, 1000/0111 и т.д.
Вот правильно ли я понимаю этот эффект - не отключая сенсор достаточна всего навсего выключить злоумышленнику его прибор записи или он-лайн наблюдения (например просто выключить осциллограф, перестать получать информацию) и тогда спутанность пары уже не будет нарушаться вплоть пока пара не будут зафиксированы моей аппаратурой (Д).

[Kosterik]

А что, взаправду ученые мужи на мой вопрос выше не ответят?
Не, я без всяких упреков, просто мне самому любопытно было разобраться что говорит современная теория по этой научной проблематике. Или, хотя бы, узнать явно, что по этой проблематике она, теория, пока молчит как, извините, партизан на допросе.
(на практике-то это уже применяется, но много раз уже было когда практика опережала теорию, так что ничего страшного)

[fizeg]

Совсем коротко о последнем вопросе: неправильно. То, что никого не интересует, что получил измерительный прибор, это никак не отменяет редукцию состояния измеряемой системы. Подробнее - не раньше субботы. Может кто-то и напишет раньше.

[Pphantom]

Последовавший через год всплеск активности отделен в «Квантовая магия»