2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 22:06 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Здравствуйте, наткнулся я на формулу (1) и задумался.
$$\log_a b^{2k} = 2k \log_a |b| \quad (1)$$Получается уравнение (2) имеет бесконечно много действительных решений.$$\ln (-e)^x = x \iff x \in \{2k \colon k \in \mathbb Z\} \quad (2)$$Найти сколь угодно подробное объяснение нюансов применения формулы (3) мне не удалось
$$\log_a b^k = k \log_a b \quad (3)$$Как видно, она справедлива только для положительного основания, следовательно, не все уравнения можно решать её применением. Помогите разобраться, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12656
Только не действительных, а чётных целых. Если мы заранее объявим, что уравнение мы рассматриваем на множестве чётных целых значений аргумента, то формально все функции в нём будут определены, а само оно превратится в тождество. А если мы будем рассматривать уравнение на множестве действительных чисел, то опять же чисто формально у нас не будет определено возведение в степень, и уравнение не будет иметь решений вообще. Хотя это вопрос схоластический, и возможны различные толкования, не имеющие никакого ни практического, ни теоретического применения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:01 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Простите, а с каких пор 16 перестало быть действительным числом? И все уравнения, решаемые на $\mathbb R$, перестали иметь решения в $\mathbb Z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:09 
Заслуженный участник


11/05/08
30880
Qazed в сообщении #971344 писал(а):
Здравствуйте, наткнулся я на формулу (1) и задумался.
$$\log_a b^{2k} = 2k \log_a |b| \quad (1)$$

А где наткнулись-то?

Без контекста запись -- паршивая. А в контексте -- сильно подозреваю, что бессмысленная. Т.е. аффтар, наверное, что-то в душе глубоко имел, однако выйдя из оного -- забыл вытереться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
5789
gris в сообщении #971348 писал(а):
Если мы заранее объявим, что уравнение мы рассматриваем на множестве чётных целых значений аргумента, то формально все функции в нём будут определены, а само оно превратится в тождество. А если мы будем рассматривать уравнение на множестве действительных чисел, то опять же чисто формально у нас не будет определено возведение в степень, и уравнение не будет иметь решений вообще.

Qazed в сообщении #971371 писал(а):
Простите, а с каких пор 16 перестало быть действительным числом? И уравнения, решаемые на $\mathbb R$ перестали решаться на $\mathbb Z$?
Кажется, у Вас где-то импликалка импликация поломалась.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:23 
Аватара пользователя


20/06/14
236
ewert, была подборка формул в каком-то "Справочнике школьника" (как-то так), уже и не припомню в каком, там оговаривалось лишь то, что $k \in \mathbb Z$ --- собственно вот и весь душ с контекстом. Меня больше волнует формула (3), как самая "часто встречаемая" на просторах школьной математики.

Dan B-Yallay в сообщении #971378 писал(а):
Кажется, у Вас где-то импликалка импликация поломалась.
Не исключено --- возможно поломалась, но опять же чисто формально вопрос был задан о "действительных" решениях, и чисто формально определено возведение в степень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:31 
Заслуженный участник


11/05/08
30880
Qazed в сообщении #971384 писал(а):
была подборка формул в каком-то "Справочнике школьника" (как-то так)

Если в справочнике -- то это уже полнейшее безобразие. Ладно бы ещё по ходу решения конкретной задачки; это ещё можно было бы понять и даже принять.

Qazed в сообщении #971384 писал(а):
Меня больше волнует формула (3),

А вот на её счёт не волнуйтесь. Эта формула вполне стандартна, в рамках общепринятых договорённостей (о коих и речи нет в предыдущем случае).

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение30.01.2015, 23:42 
Аватара пользователя


20/06/14
236
ewert в сообщении #971389 писал(а):
А вот на её счёт не волнуйтесь. Эта формула вполне стандартна, в рамках общепринятых договорённостей (о коих и речи нет в предыдущем случае).
Но её применение не позволит найти, например, корень $x=16$, а приведёт к противоречию, хотя подстановка его в исходное уравнение приводит к верному равенству, значит в рамках общепринятых договорённостей является решением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1206
Самара
А в школе учат начинать с ОДЗ... И все Ваши псевдопроблемы исчезнут

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 12:51 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Учат, учат.
$$(-e)^x > 0 \iff x \in \{ 2k \colon k \in \mathbb Z\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19379
Уфа
Вот, и после этого вы можете преобразовать $(-e)^{2k} = e^{2k}$, и дальше всё прекрасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 21:32 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Всем спасибо за ответы, теперь понятно.
arseniiv, спасибо. Сам я, увы, не догадался, что $(-e)^{2x} = e^{2x}$, ох.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19379
Уфа

(Оффтоп)

Что ж, я попытался и не угадал. Спасибо, уместный сарказм. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Логарифмы
Сообщение31.01.2015, 23:20 
Аватара пользователя


20/06/14
236
Скажу вам по секрету — это был не сарказм, я попросту сглупил и плохо подумал перед тем как спрашивать на форуме. Мне это свойственно, наверное.
arseniiv в сообщении #971974 писал(а):

(Оффтоп)

Что ж, я попытался и не угадал. Спасибо, уместный сарказм. :mrgreen:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group